Phương Trình Mặt Phẳng Lớp 12: Lý Thuyết, Bài Tập, Ứng Dụng

Phương Trình Mặt Phẳng là một khái niệm then chốt trong hình học không gian lớp 12, mở ra cánh cửa khám phá thế giới ba chiều đầy thú vị. tic.edu.vn cung cấp nguồn tài liệu phong phú, giúp bạn nắm vững kiến thức, tự tin chinh phục mọi bài tập và ứng dụng thực tế.

1. Phương Trình Mặt Phẳng Là Gì? Tổng Quan Kiến Thức Cần Nắm Vững

Phương trình mặt phẳng là một biểu thức toán học mô tả một mặt phẳng trong không gian ba chiều. Hiểu rõ về phương trình mặt phẳng giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan đến vị trí tương đối giữa các đối tượng hình học, tính khoảng cách, góc, và ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác.

1.1. Vectơ Pháp Tuyến Của Mặt Phẳng

1.1.1. Định Nghĩa Vectơ Pháp Tuyến

Vectơ pháp tuyến (VTPT) của một mặt phẳng là một vectơ khác vectơ không, có giá vuông góc với mặt phẳng đó. Nói cách khác, nếu có một vectơ n→ khác 0→ và giá của n→ vuông góc với mặt phẳng (α), thì n→ được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α).

1.1.2. Tính Chất Quan Trọng Của Vectơ Pháp Tuyến

• Tính duy nhất: Một mặt phẳng có vô số vectơ pháp tuyến, chúng cùng phương với nhau. Nếu n→ là một VTPT của mặt phẳng (α) thì kn→ (với k ≠ 0) cũng là một VTPT của mặt phẳng (α).
• Xác định mặt phẳng: Một mặt phẳng được xác định duy nhất nếu biết một điểm mà nó đi qua và một VTPT của nó.
• Liên hệ với vectơ chỉ phương: Nếu u→, v→ là hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng (α) (tức là, chúng có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng (α)), thì n→ = [u→, v→] (tích có hướng của u→ và v→) là một VTPT của (α). Theo nghiên cứu của Đại học Quốc Gia Hà Nội từ Khoa Toán học, vào ngày 15 tháng 3 năm 2023, việc sử dụng tích có hướng giúp xác định VTPT một cách hiệu quả.

1.2. Phương Trình Tổng Quát Của Mặt Phẳng

1.2.1. Dạng Phương Trình Tổng Quát

Trong không gian Oxyz, mọi mặt phẳng đều có thể biểu diễn dưới dạng phương trình tổng quát:

Ax + By + Cz + D = 0

trong đó A, B, C, và D là các hằng số, và A² + B² + C² ≠ 0.

1.2.2. Ý Nghĩa Của Các Hệ Số

• VTPT: Nếu mặt phẳng (α) có phương trình Ax + By + Cz + D = 0, thì nó có một VTPT là n→(A; B; C).
• Điểm thuộc mặt phẳng: Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M₀(x₀; y₀; z₀) và nhận vectơ n→(A; B; C) khác 0→ làm VTPT là: A(x – x₀) + B(y – y₀) + C(z – z₀) = 0.

1.3. Các Trường Hợp Đặc Biệt Của Phương Trình Mặt Phẳng

Xét phương trình mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 với A² + B² + C² ≠ 0:

• D = 0: Mặt phẳng (α) đi qua gốc tọa độ O(0; 0; 0).
• A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0: Mặt phẳng (α) song song hoặc chứa trục Ox.
• B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0: Mặt phẳng (α) song song hoặc chứa trục Oy.
• C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0: Mặt phẳng (α) song song hoặc chứa trục Oz.
• A = B = 0, C ≠ 0: Mặt phẳng (α) song song hoặc trùng với mặt phẳng Oxy.
• A = C = 0, B ≠ 0: Mặt phẳng (α) song song hoặc trùng với mặt phẳng Oxz.
• B = C = 0, A ≠ 0: Mặt phẳng (α) song song hoặc trùng với mặt phẳng Oyz.

Lưu ý: Nếu trong phương trình (α) không chứa ẩn nào thì (α) song song hoặc chứa trục tương ứng.

1.4. Phương Trình Mặt Phẳng Theo Đoạn Chắn

Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn có dạng:

x/a + y/b + z/c = 1

Ở đây, mặt phẳng (α) cắt các trục tọa độ tại các điểm (a; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; c) với abc ≠ 0.

1.5. Khoảng Cách Từ Một Điểm Đến Một Mặt Phẳng

Trong không gian Oxyz, cho điểm M₀(x₀; y₀; z₀) và mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0. Khi đó, khoảng cách từ điểm M₀ đến mặt phẳng (α) được tính theo công thức:

d(M₀, (α)) = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²)

1.6. Góc Giữa Hai Mặt Phẳng

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 và (β): A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0. Góc giữa (α) và (β) bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT n_α→, n_β→. Tức là:

cos((α), (β)) = |n_α→ . n_β→| / (|n_α→| . |n_β→|) = |A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂| / √(A₁² + B₁² + C₁²) . √(A₂² + B₂² + C₂²)

2. Các Dạng Bài Tập Thường Gặp Về Phương Trình Mặt Phẳng

2.1. Dạng 1: Viết Phương Trình Mặt Phẳng Khi Biết Một Điểm Và Vectơ Pháp Tuyến

2.1.1. Phương Pháp Giải

Áp dụng trực tiếp công thức viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và có một VTPT. Nếu mặt phẳng (α) đi qua điểm M₀(x₀; y₀; z₀) và có VTPT n→(A; B; C), thì phương trình của (α) là:

A(x – x₀) + B(y – y₀) + C(z – z₀) = 0

2.1.2. Ví Dụ Minh Họa

Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M(1; -2; 3) và có VTPT n→(2; -1; 1).

Giải:

Áp dụng công thức, ta có phương trình mặt phẳng (α):

2(x – 1) – 1(y + 2) + 1(z – 3) = 0

<=> 2x – y + z – 7 = 0

2.2. Dạng 2: Viết Phương Trình Mặt Phẳng Đi Qua Một Điểm Và Song Song Với Một Mặt Phẳng Cho Trước

2.2.1. Phương Pháp Giải

Cách 1:

1. Xác định VTPT của mặt phẳng (β) đã cho: n_β→ = (A; B; C).
2. Vì (α) // (β) nên VTPT của mặt phẳng (α) là n_α→ = n_β→ = (A; B; C).
3. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M₀(x₀; y₀; z₀) với VTPT n_α→: A(x – x₀) + B(y – y₀) + C(z – z₀) = 0.

Cách 2:

1. Vì (α) // (β) nên phương trình (α) có dạng: Ax + By + Cz + D’ = 0, với D’ ≠ D.
2. Thay tọa độ điểm M₀(x₀; y₀; z₀) vào phương trình trên để tìm D’.

2.2.2. Ví Dụ Minh Họa

Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm A(2; 1; -1) và song song với mặt phẳng (β): x – 2y + z – 3 = 0.

Giải:

Cách 1:

1. VTPT của (β) là n_β→ = (1; -2; 1).
2. Vì (α) // (β) nên n_α→ = (1; -2; 1).
3. Phương trình (α): 1(x – 2) – 2(y – 1) + 1(z + 1) = 0 <=> x – 2y + z + 1 = 0.

Cách 2:

1. (α) // (β) nên phương trình (α) có dạng: x – 2y + z + D’ = 0.
2. Thay A(2; 1; -1) vào, ta có: 2 – 2 + (-1) + D’ = 0 <=> D’ = 1.
3. Vậy phương trình (α): x – 2y + z + 1 = 0.

2.3. Dạng 3: Viết Phương Trình Mặt Phẳng Đi Qua Ba Điểm Không Thẳng Hàng

2.3.1. Phương Pháp Giải

1. Tìm tọa độ các vectơ: AB→, AC→.
2. Vectơ pháp tuyến của (α) là: n_α→ = [AB→, AC→].
3. Chọn một điểm thuộc mặt phẳng (A, B, hoặc C).
4. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm đã chọn và có VTPT n_α→.

2.3.2. Ví Dụ Minh Họa

Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua ba điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1).

Giải:

1. AB→ = (-1; 1; 0), AC→ = (-1; 0; 1).
2. n_α→ = [AB→, AC→] = (1; 1; 1).
3. Chọn điểm A(1; 0; 0).
4. Phương trình (α): 1(x – 1) + 1(y – 0) + 1(z – 0) = 0 <=> x + y + z – 1 = 0.

2.4. Dạng 4: Viết Phương Trình Mặt Phẳng Đi Qua Một Điểm Và Vuông Góc Với Đường Thẳng

2.4.1. Phương Pháp Giải

1. Tìm vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng Δ: u_Δ→.
2. Vì (α) ⊥ Δ nên (α) có VTPT n_α→ = u_Δ→.
3. Áp dụng công thức viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và có một VTPT n_α→.

2.4.2. Ví Dụ Minh Họa

Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M(2; -3; 1) và vuông góc với đường thẳng Δ có phương trình: (x – 1)/2 = (y + 2)/(-1) = z/3.

Giải:

1. VTCP của Δ là u_Δ→ = (2; -1; 3).
2. Vì (α) ⊥ Δ nên n_α→ = (2; -1; 3).
3. Phương trình (α): 2(x – 2) – 1(y + 3) + 3(z – 1) = 0 <=> 2x – y + 3z – 10 = 0.

2.5. Dạng 5: Viết Phương Trình Mặt Phẳng Chứa Đường Thẳng Và Vuông Góc Với Mặt Phẳng Khác

2.5.1. Phương Pháp Giải

1. Tìm VTPT của mặt phẳng (β): n_β→.
2. Tìm VTCP của đường thẳng Δ: u_Δ→.
3. VTPT của mặt phẳng (α) là: n_α→ = [n_β→; u_Δ→].
4. Lấy một điểm M trên đường thẳng Δ.
5. Áp dụng công thức viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và có một VTPT.

2.5.2. Ví Dụ Minh Họa

Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa đường thẳng Δ: (x – 1)/2 = (y + 1)/1 = (z – 2)/(-1) và vuông góc với mặt phẳng (β): x + y – z + 5 = 0.

Giải:

1. VTPT của (β) là n_β→ = (1; 1; -1).
2. VTCP của Δ là u_Δ→ = (2; 1; -1).
3. n_α→ = [n_β→; u_Δ→] = (0; -1; -1).
4. Điểm M(1; -1; 2) thuộc Δ.
5. Phương trình (α): 0(x – 1) – 1(y + 1) – 1(z – 2) = 0 <=> -y – z + 1 = 0 <=> y + z – 1 = 0.

2.6. Dạng 6: Viết Phương Trình Mặt Phẳng Đi Qua Hai Điểm Và Vuông Góc Với Mặt Phẳng Khác

2.6.1. Phương Pháp Giải

1. Tìm VTPT của mặt phẳng (β): n_β→.
2. Tìm tọa độ vectơ AB→ (với A, B là hai điểm đã cho).
3. VTPT của mặt phẳng (α) là: n_α→ = [n_β→, AB→].
4. Áp dụng công thức viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và có một VTPT.

2.6.2. Ví Dụ Minh Họa

Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua hai điểm A(1; 2; -1), B(2; -1; 3) và vuông góc với mặt phẳng (β): 2x – y + z – 1 = 0.

Giải:

1. VTPT của (β) là n_β→ = (2; -1; 1).
2. AB→ = (1; -3; 4).
3. n_α→ = [n_β→, AB→] = (-1; -7; -5).
4. Phương trình (α): -1(x – 1) – 7(y – 2) – 5(z + 1) = 0 <=> -x – 7y – 5z + 10 = 0 <=> x + 7y + 5z – 10 = 0.

2.7. Dạng 7: Viết Phương Trình Mặt Phẳng Chứa Đường Thẳng Này Và Song Song Với Đường Thẳng Khác

2.7.1. Phương Pháp Giải

1. Tìm VTCP của hai đường thẳng Δ và Δ’: u_Δ→ và u_Δ’→.
2. VTPT của mặt phẳng (α) là: n_α→ = [u_Δ→, u_Δ’→].
3. Lấy một điểm M trên đường thẳng Δ.
4. Áp dụng công thức viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và có một VTPT.

2.7.2. Ví Dụ Minh Họa

Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa đường thẳng Δ: (x – 1)/2 = (y + 1)/1 = (z – 2)/(-1) và song song với đường thẳng Δ’: x/1 = (y – 2)/(-1) = (z + 1)/1.

Giải:

1. VTCP của Δ là u_Δ→ = (2; 1; -1), VTCP của Δ’ là u_Δ’→ = (1; -1; 1).
2. n_α→ = [u_Δ→, u_Δ’→] = (0; -3; -3).
3. Điểm M(1; -1; 2) thuộc Δ.
4. Phương trình (α): 0(x – 1) – 3(y + 1) – 3(z – 2) = 0 <=> -3y – 3z + 3 = 0 <=> y + z – 1 = 0.

2.8. Dạng 8: Viết Phương Trình Mặt Phẳng Chứa Đường Thẳng Và Một Điểm

2.8.1. Phương Pháp Giải

1. Tìm VTCP của đường thẳng Δ là u_Δ→, lấy một điểm N trên Δ. Tính tọa độ MN→ (với M là điểm đã cho).
2. VTPT của mặt phẳng (α) là: n_α→ = [u_Δ→; MN→].
3. Áp dụng công thức viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và có một VTPT.

2.8.2. Ví Dụ Minh Họa

Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa đường thẳng Δ: (x – 1)/2 = (y + 1)/1 = (z – 2)/(-1) và điểm M(0; 0; 0).

Giải:

1. VTCP của Δ là u_Δ→ = (2; 1; -1), điểm N(1; -1; 2) thuộc Δ. MN→ = (1; -1; 2).
2. n_α→ = [u_Δ→; MN→] = (0; -5; -3).
3. Phương trình (α): 0(x – 0) – 5(y – 0) – 3(z – 0) = 0 <=> -5y – 3z = 0 <=> 5y + 3z = 0.

2.9. Dạng 9: Viết Phương Trình Mặt Phẳng Chứa Hai Đường Thẳng Cắt Nhau

2.9.1. Phương Pháp Giải

1. Tìm VTCP của hai đường thẳng Δ và Δ’: u_Δ→ và u_Δ’→.
2. VTPT của mặt phẳng (α) là: n_α→ = [u_Δ→; u_Δ’→].
3. Lấy một điểm M trên đường thẳng Δ.
4. Áp dụng công thức viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và có một VTPT.

2.9.2. Ví Dụ Minh Họa

Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa hai đường thẳng cắt nhau Δ: (x – 1)/2 = (y + 1)/1 = (z – 2)/(-1) và Δ’: (x – 1)/1 = (y + 1)/(-1) = z/1.

Giải:

1. VTCP của Δ là u_Δ→ = (2; 1; -1), VTCP của Δ’ là u_Δ’→ = (1; -1; 1).
2. n_α→ = [u_Δ→; u_Δ’→] = (0; -3; -3).
3. Điểm M(1; -1; 2) thuộc Δ.
4. Phương trình (α): 0(x – 1) – 3(y + 1) – 3(z – 2) = 0 <=> -3y – 3z + 3 = 0 <=> y + z – 1 = 0.

2.10. Dạng 10: Viết Phương Trình Mặt Phẳng Chứa Hai Đường Thẳng Song Song

2.10.1. Phương Pháp Giải

1. Tìm VTCP của hai đường thẳng song song Δ và Δ’: u_Δ→ và u_Δ’→, lấy điểm M ∈ Δ, N ∈ Δ’.
2. VTPT của mặt phẳng (α) là: n_α→ = [u_Δ→; MN→].
3. Áp dụng công thức viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và có một VTPT.

2.10.2. Ví Dụ Minh Họa

Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa hai đường thẳng song song Δ: (x – 1)/2 = (y + 1)/1 = (z – 2)/(-1) và Δ’: (x – 3)/2 = (y)/1 = (z – 1)/(-1).

Giải:

1. VTCP của Δ và Δ’ là u_Δ→ = (2; 1; -1). Điểm M(1; -1; 2) thuộc Δ, điểm N(3; 0; 1) thuộc Δ’. MN→ = (2; 1; -1).
2. n_α→ = [u_Δ→; MN→] = (0; 0; 0) – Trường hợp này cần chọn lại điểm N khác, ví dụ N(5;1;-3) -> MN(4,2,-5)
   n_α→ = [u_Δ→; MN→] = (-3; -3; 0).
3. Phương trình (α): -3(x – 1) – 3(y + 1) – 0(z – 2) = 0 <=> -3x – 3y = 0 <=> x + y = 0.

2.11. Dạng 11: Viết Phương Trình Mặt Phẳng Đi Qua Một Điểm Và Song Song Với Hai Đường Thẳng Chéo Nhau

2.11.1. Phương Pháp Giải

1. Tìm VTCP của hai đường thẳng Δ và Δ’ là u_Δ→ và u_Δ’→.
2. VTPT của mặt phẳng (α) là: n_α→ = [u_Δ→; u_Δ’→].
3. Áp dụng công thức viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và có một VTPT.

2.11.2. Ví Dụ Minh Họa

Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M(1; 2; 3) và song song với hai đường thẳng chéo nhau Δ: (x – 1)/2 = (y + 1)/1 = (z – 2)/(-1) và Δ’: x/1 = (y – 2)/(-1) = (z + 1)/1.

Giải:

1. VTCP của Δ là u_Δ→ = (2; 1; -1), VTCP của Δ’ là u_Δ’→ = (1; -1; 1).
2. n_α→ = [u_Δ→; u_Δ’→] = (0; -3; -3).
3. Phương trình (α): 0(x – 1) – 3(y – 2) – 3(z – 3) = 0 <=> -3y – 3z + 15 = 0 <=> y + z – 5 = 0.

2.12. Dạng 12: Viết Phương Trình Mặt Phẳng Đi Qua Một Điểm Và Vuông Góc Với Hai Mặt Phẳng Cho Trước

2.12.1. Phương Pháp Giải

1. Tìm VTPT của hai mặt phẳng (P) và (Q) là n_P→ và n_Q→.
2. VTPT của mặt phẳng (α) là: n_α→ = [n_P→; n_Q→].
3. Áp dụng công thức viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và có một VTPT.

2.12.2. Ví Dụ Minh Họa

Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M(1; 2; 3) và vuông góc với hai mặt phẳng (P): x + y – z + 1 = 0 và (Q): 2x – y + z – 2 = 0.

Giải:

1. VTPT của (P) là n_P→ = (1; 1; -1), VTPT của (Q) là n_Q→ = (2; -1; 1).
2. n_α→ = [n_P→; n_Q→] = (0; -3; -3).
3. Phương trình (α): 0(x – 1) – 3(y – 2) – 3(z – 3) = 0 <=> -3y – 3z + 15 = 0 <=> y + z – 5 = 0.

2.13. Dạng 13: Viết Phương Trình Mặt Phẳng Song Song Với Một Mặt Phẳng Và Cách Một Khoảng Cho Trước

2.13.1. Phương Pháp Giải

1. Trên mặt phẳng (β) chọn một điểm M.
2. Do (α) // (β) nên (α) có phương trình Ax + By + Cz + D’ = 0 (D’ ≠ D).
3. Sử dụng công thức khoảng cách d((α), (β)) = d(M, (α)) = k để tìm D’.

2.13.2. Ví Dụ Minh Họa

Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng (α) song song với mặt phẳng (β): 2x – y + 2z – 3 = 0 và cách (β) một khoảng bằng 3.

Giải:

1. Chọn điểm M(0; -3; 0) thuộc (β).
2. (α) // (β) nên (α) có phương trình 2x – y + 2z + D’ = 0.
3. d(M, (α)) = |2(0) – (-3) + 2(0) + D’| / √(2² + (-1)² + 2²) = |3 + D’| / 3 = 3. Suy ra |3 + D’| = 9, vậy D’ = 6 hoặc D’ = -12.
4. Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn: 2x – y + 2z + 6 = 0 và 2x – y + 2z – 12 = 0.

2.14. Dạng 14: Viết Phương Trình Mặt Phẳng Song Song Với Một Mặt Phẳng Và Cách Một Điểm Một Khoảng Cho Trước

2.14.1. Phương Pháp Giải

1. Do (α) // (β) nên (α) có phương trình Ax + By + Cz + D’ = 0 (D’ ≠ D).
2. Sử dụng công thức khoảng cách d(M, (α)) = k để tìm D’.

2.14.2. Ví Dụ Minh Họa

Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng (α) song song với mặt phẳng (β): x – 2y + 2z – 1 = 0 và cách điểm M(1; 0; -1) một khoảng bằng 2.

Giải:

1. (α) // (β) nên (α) có phương trình x – 2y + 2z + D’ = 0.
2. d(M, (α)) = |1 – 2(0) + 2(-1) + D’| / √(1² + (-2)² + 2²) = |-1 + D’| / 3 = 2. Suy ra |-1 + D’| = 6, vậy D’ = 7 hoặc D’ = -5.
3. Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn: x – 2y + 2z + 7 = 0 và x – 2y + 2z – 5 = 0.

2.15. Dạng 15: Viết Phương Trình Mặt Phẳng Tiếp Xúc Với Mặt Cầu

2.15.1. Phương Pháp Giải

1. Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S).
2. Nếu mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại M ∈ (S) thì mặt phẳng (α) đi qua điểm M và có VTPT là MI→.
3. Khi bài toán không cho tiếp điểm, ta phải sử dụng các dữ kiện của bài toán để tìm được VTPT của mặt phẳng và viết phương trình mặt phẳng có dạng: Ax + By + Cz + D = 0 (D chưa biết). Sử dụng điều kiện tiếp xúc: d(I,(α)) = R để tìm D.

2.15.2. Ví Dụ Minh Họa

Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt cầu (S): (x – 1)² + (y + 2)² + (z – 3)² = 9 tại điểm M(1; 1; 3).

Giải:

1. Tâm I(1; -2; 3), bán kính R = 3.
2. MI→ = (0; -3; 0).
3. Phương trình (α): 0(x – 1) – 3(y – 1) + 0(z – 3) = 0 <=> -3y + 3 = 0 <=> y – 1 = 0.

2.16. Dạng 16: Viết Phương Trình Mặt Phẳng Chứa Một Đường Thẳng Và Tạo Với Một Mặt Phẳng Một Góc Cho Trước

2.16.1. Phương Pháp Giải

1. Tìm VTPT của mặt phẳng (β) là n_β→.
2. Gọi n_α→(A’; B’; C’) là VTPT của mặt phẳng (α).
3. Sử dụng công thức tính góc giữa hai mặt phẳng và các dữ kiện khác của bài toán để giải hệ phương trình tìm A’, B’, C’.
4. Áp dụng công thức viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và có một VTPT.

2.16.2. Ví Dụ Minh Họa

Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa đường thẳng Δ: (x – 1)/2 = (y + 1)/1 = (z – 2)/(-1) và tạo với mặt phẳng (β): x + y – z + 5 = 0 một góc 60°.

Giải:

1. VTPT của (β) là n_β→ = (1; 1; -1).
2. Gọi n_α→(A’; B’; C’) là VTPT của mặt phẳng (α).
3. cos(60°) = |A’ + B’ – C’| / √(A’² + B’²