Cho Số Phức Z Thỏa Mãn: Hướng Dẫn Giải Chi Tiết & Bài Tập

Cho Số Phức Z Thỏa Mãn một điều kiện nào đó là dạng bài tập quen thuộc trong chương trình toán học phổ thông và các kỳ thi quan trọng. Bài viết này của tic.edu.vn sẽ cung cấp phương pháp giải quyết các bài toán này một cách chi tiết, dễ hiểu, cùng với các ví dụ minh họa và bài tập tự luyện, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin chinh phục mọi bài toán liên quan đến số phức.

1. Số Phức Z Thỏa Mãn: Tổng Quan Về Số Phức

Trước khi đi sâu vào giải các bài toán cho số phức z thỏa mãn, chúng ta cần nắm vững kiến thức cơ bản về số phức.

1.1. Định Nghĩa Số Phức

Số phức là một số có dạng a + bi, trong đó:

• a và b là các số thực.
• i là đơn vị ảo, với i² = -1.

a được gọi là phần thực của số phức, ký hiệu là Re(z) = a. b được gọi là phần ảo của số phức, ký hiệu là Im(z) = b.

1.2. Biểu Diễn Hình Học của Số Phức

Mỗi số phức z = a + bi có thể được biểu diễn bởi một điểm M(a; b) trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Mặt phẳng này được gọi là mặt phẳng phức.

1.3. Các Phép Toán Với Số Phức

• Phép cộng: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
• Phép trừ: (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i
• Phép nhân: (a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i
• Phép chia: (a + bi) / (c + di) = [(ac + bd) / (c² + d²)] + [(bc – ad) / (c² + d²)]i, với c + di ≠ 0

1.4. Số Phức Liên Hợp

Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là số phức z̄ = a – bi.

1.5. Môđun của Số Phức

Môđun của số phức z = a + bi, ký hiệu là |z|, là khoảng cách từ điểm biểu diễn số phức đó đến gốc tọa độ trên mặt phẳng phức. |z| = √(a² + b²)

2. Các Dạng Bài Toán Thường Gặp Về Số Phức Z Thỏa Mãn

Bài toán cho số phức z thỏa mãn có rất nhiều dạng khác nhau, nhưng có thể quy về một số dạng cơ bản sau:

• Dạng 1: Tìm số phức z thỏa mãn một phương trình cho trước.
• Dạng 2: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn một điều kiện cho trước.
• Dạng 3: Tính giá trị biểu thức liên quan đến số phức z thỏa mãn một điều kiện cho trước.
• Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức liên quan đến số phức z thỏa mãn một điều kiện cho trước.
• Dạng 5: Ứng dụng số phức vào giải các bài toán hình học.

3. Phương Pháp Giải Quyết Chung Cho Bài Toán “Cho Số Phức Z Thỏa Mãn”

Để giải quyết các bài toán cho số phức z thỏa mãn, chúng ta có thể áp dụng các bước sau:

Bước 1: Đặt ẩn và biểu diễn số phức z

Thông thường, chúng ta sẽ đặt z = a + bi, với a và b là các số thực cần tìm. Sau đó, thay z vào điều kiện bài toán.

Bước 2: Biến đổi và rút gọn

Sử dụng các phép toán với số phức để biến đổi điều kiện bài toán về một dạng đơn giản hơn. Có thể sử dụng các kỹ thuật như:

• Khai triển và rút gọn biểu thức.
• Sử dụng số phức liên hợp.
• Sử dụng môđun của số phức.

Bước 3: Thiết lập phương trình hoặc hệ phương trình

Từ điều kiện đã được biến đổi, thiết lập một phương trình hoặc hệ phương trình liên quan đến a và b.

Bước 4: Giải phương trình hoặc hệ phương trình

Giải phương trình hoặc hệ phương trình để tìm ra giá trị của a và b.

Bước 5: Kết luận

Từ giá trị của a và b tìm được, kết luận về số phức z hoặc tập hợp các điểm biểu diễn z hoặc giá trị biểu thức cần tính.

4. Giải Chi Tiết Các Dạng Bài Toán Cho Số Phức Z Thỏa Mãn

Chúng ta sẽ đi vào giải chi tiết từng dạng bài toán cho số phức z thỏa mãn với các ví dụ minh họa cụ thể.

4.1. Dạng 1: Tìm Số Phức Z Thỏa Mãn Phương Trình

Ví dụ: Tìm số phức z thỏa mãn phương trình: z(1 – 2i) + z̄i = 15 + i.

Giải:

Bước 1: Đặt ẩn

Đặt z = a + bi, với a, b ∈ R. Suy ra z̄ = a – bi.

Bước 2: Thay vào phương trình và biến đổi

Thay z và z̄ vào phương trình, ta có:

(a + bi)(1 – 2i) + (a – bi)i = 15 + i

⇔ a – 2ai + bi + 2b + ai + b = 15 + i

⇔ (a + 3b) + (-a + b)i = 15 + i

Bước 3: Thiết lập hệ phương trình

Từ đó, ta có hệ phương trình:

{ a + 3b = 15

{ -a + b = 1

Bước 4: Giải hệ phương trình

Giải hệ phương trình, ta được:

{ a = 3

{ b = 4

Bước 5: Kết luận

Vậy z = 3 + 4i. Môđun của z là |z| = √(3² + 4²) = 5.

Số Phức Z Thỏa Mãn: Ví dụ minh họa cách giải

4.2. Dạng 2: Tìm Tập Hợp Các Điểm Biểu Diễn Số Phức Z

Ví dụ: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |z – 1 + i| = 2.

Giải:

Bước 1: Đặt ẩn

Đặt z = a + bi, với a, b ∈ R.

Bước 2: Thay vào điều kiện và biến đổi

Thay z vào điều kiện, ta có:

|a + bi – 1 + i| = 2

⇔ |(a – 1) + (b + 1)i| = 2

⇔ √((a – 1)² + (b + 1)²) = 2

Bước 3: Bình phương hai vế và rút gọn

Bình phương hai vế, ta được:

(a – 1)² + (b + 1)² = 4

Bước 4: Nhận dạng hình học

Đây là phương trình của một đường tròn có tâm I(1; -1) và bán kính R = 2.

Bước 5: Kết luận

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(1; -1), bán kính R = 2.

4.3. Dạng 3: Tính Giá Trị Biểu Thức Liên Quan Đến Z

Ví dụ: Cho số phức z thỏa mãn |z – 1| = |z + i|. Tính giá trị của biểu thức P = |z – 2 – i|.

Giải:

Bước 1: Đặt ẩn

Đặt z = a + bi, với a, b ∈ R.

Bước 2: Thay vào điều kiện và biến đổi

Thay z vào điều kiện, ta có:

|a + bi – 1| = |a + bi + i|

⇔ |(a – 1) + bi| = |a + (b + 1)i|

⇔ √((a – 1)² + b²) = √(a² + (b + 1)²)

Bước 3: Bình phương hai vế và rút gọn

Bình phương hai vế, ta được:

(a – 1)² + b² = a² + (b + 1)²

⇔ a² – 2a + 1 + b² = a² + b² + 2b + 1

⇔ -2a = 2b

⇔ a = -b

Bước 4: Tính giá trị biểu thức P

Ta có P = |z – 2 – i| = |a + bi – 2 – i| = |(a – 2) + (b – 1)i| = √((a – 2)² + (b – 1)²).

Vì a = -b, nên P = √((-b – 2)² + (b – 1)²) = √(b² + 4b + 4 + b² – 2b + 1) = √(2b² + 2b + 5) = √2(b² + b + 1/4) + 9/2 = √2(b + 1/2)² + 9/2 ≥ √(9/2) = 3√2/2.

Tuy nhiên, bài toán yêu cầu tính giá trị của P, không phải giá trị nhỏ nhất. Ta cần tìm một cách khác để biểu diễn P. Vì a = -b, z = a – ai.

P = |z – 2 – i| = |a – ai – 2 – i| = |(a-2) – (a+1)i| = √((a-2)^2 + (a+1)^2) = √(a^2 – 4a + 4 + a^2 + 2a + 1) = √(2a^2 – 2a + 5).

Để P là một giá trị cụ thể, điều kiện bài toán cần chặt chẽ hơn. Nếu bài toán yêu cầu tìm giá trị nhỏ nhất của P, thì ta làm như trên.

Bước 5: Kết luận

Trong trường hợp này, không thể xác định giá trị cụ thể của P mà chỉ có thể tìm giá trị nhỏ nhất của P là 3√2/2. Cần xem lại đề bài để có thông tin chính xác hơn.

4.4. Dạng 4: Tìm GTLN, GTNN Của Biểu Thức Liên Quan Đến Z

Ví dụ: Cho số phức z thỏa mãn |z| = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = |z + 1 + i|.

Giải:

Bước 1: Đặt ẩn

Đặt z = a + bi, với a, b ∈ R.

Bước 2: Thay vào điều kiện và biến đổi

Vì |z| = 1, nên a² + b² = 1.

Bước 3: Biểu diễn P theo a, b

Ta có: P = |z + 1 + i| = |a + bi + 1 + i| = |(a + 1) + (b + 1)i| = √((a + 1)² + (b + 1)²) = √(a² + 2a + 1 + b² + 2b + 1) = √(a² + b² + 2a + 2b + 2) = √(1 + 2a + 2b + 2) = √(2a + 2b + 3).

Bước 4: Tìm GTLN của P

Ta cần tìm GTLN của P = √(2a + 2b + 3), với điều kiện a² + b² = 1.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

(2a + 2b)² ≤ (2² + 2²)(a² + b²) = 8 * 1 = 8

=> -√8 ≤ 2a + 2b ≤ √8

=> -2√2 ≤ 2a + 2b ≤ 2√2

Vậy P = √(2a + 2b + 3) ≤ √(2√2 + 3).

Dấu “=” xảy ra khi a = b = √2/2.

Bước 5: Kết luận

Vậy GTLN của P là √(2√2 + 3), đạt được khi z = √2/2 + √2/2 i.

4.5. Dạng 5: Ứng Dụng Số Phức Vào Giải Bài Toán Hình Học

Ví dụ: Cho tam giác ABC có A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức z₁, z₂, z₃. Biết tam giác ABC là tam giác đều. Chứng minh rằng: z₁² + z₂² + z₃² = z₁z₂ + z₂z₃ + z₃z₁.

Giải:

Bước 1: Sử dụng tính chất hình học

Vì tam giác ABC đều, nên ta có thể coi phép quay tâm A biến B thành C. Gọi góc quay là 60 độ (π/3).

Bước 2: Biểu diễn phép quay bằng số phức

Phép quay tâm A góc π/3 biến B thành C được biểu diễn bởi:

z₃ – z₁ = (z₂ – z₁)(cos(π/3) + isin(π/3)) = (z₂ – z*₁)(1/2 + i√3/2)

Bước 3: Biến đổi và rút gọn

⇔ 2(z₃ – z₁) = (z₂ – z₁)(1 + i√3)

Lấy môđun hai vế và bình phương, ta được:

4|z₃ – z₁|² = |z₂ – z₁|² * 4

=> |z₃ – z₁| = |z₂ – z₁| (điều này hiển nhiên vì tam giác đều)

Bước 4: Sử dụng tính chất của tam giác đều

Vì tam giác ABC đều nên AB = BC = CA, tức là:

|z₂ – z₁| = |z₃ – z₂| = |z₁ – z₃|

Bước 5: Chứng minh đẳng thức

Ta có đẳng thức sau đúng với mọi số phức x, y, z:

x² + y² + z² – xy – yz – zx = 1/2 [(x – y)² + (y – z)² + (z – x)²]

Áp dụng cho bài toán, đặt x = z₁, y = z₂, z = z₃, ta có:

z₁² + z₂² + z₃² – z₁z₂ – z₂z₃ – z₃z₁ = 1/2 [(z₁ – z₂)² + (z₂ – z₃)² + (z₃ – z₁)²]

Vì |z₂ – z₁| = |z₃ – z₂| = |z₁ – z₃|, nên (z₁ – z₂)² + (z₂ – z₃)² + (z₃ – z₁)² = 0 (do chúng có cùng môđun và lệch nhau góc 120 độ)

Vậy z₁² + z₂² + z₃² = z₁z₂ + z₂z₃ + z₃z₁ (đpcm).

5. Bài Tập Tự Luyện

Để củng cố kiến thức, bạn hãy thử sức với các bài tập sau:

1. Tìm số phức z thỏa mãn: (1 + i)z + (2 – i)z̄ = 7 + 2i.
2. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |z – 2i| ≤ 1.
3. Cho số phức z thỏa mãn |z| = 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = |z – 1 – i|.
4. Cho số phức z thỏa mãn |z – 1| = |z + 1|. Chứng minh rằng z là một số ảo.
5. Trong mặt phẳng phức, cho ba điểm A, B, C lần lượt biểu diễn cho các số phức z₁, z₂, z₃ thỏa mãn |z₁| = |z₂| = |z₃| = 1 và z₁ + z₂ + z₃ = 0. Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều.

6. Mẹo Và Thủ Thuật Khi Giải Bài Toán Về Số Phức

• Sử dụng máy tính bỏ túi: Máy tính bỏ túi có thể hỗ trợ bạn thực hiện các phép toán với số phức một cách nhanh chóng và chính xác.
• Vẽ hình: Vẽ hình biểu diễn số phức trên mặt phẳng phức có thể giúp bạn hình dung bài toán và tìm ra hướng giải quyết.
• Nhận dạng các dạng bài toán quen thuộc: Khi gặp một bài toán mới, hãy cố gắng nhận dạng xem nó thuộc dạng nào đã biết để áp dụng phương pháp giải phù hợp.
• Kiểm tra lại kết quả: Sau khi giải xong, hãy kiểm tra lại kết quả bằng cách thay vào điều kiện bài toán để đảm bảo tính chính xác.
• Tham khảo tài liệu: Đừng ngần ngại tham khảo các tài liệu, sách giáo khoa, bài giảng trực tuyến để mở rộng kiến thức và học hỏi kinh nghiệm từ người khác.

7. Các Nghiên Cứu Liên Quan Đến Số Phức Trong Giáo Dục Toán Học

Nghiên cứu của Đại học Sư phạm Hà Nội từ Khoa Toán học, vào tháng 5 năm 2022, chỉ ra rằng việc sử dụng hình học trực quan trong giảng dạy số phức giúp học sinh dễ dàng hình dung và nắm bắt khái niệm hơn. Theo đó, việc kết hợp các phần mềm đồ họa cũng được khuyến khích để tăng tính tương tác và hiệu quả học tập.

8. Ý Định Tìm Kiếm Của Người Dùng Về “Cho Số Phức Z Thỏa Mãn”

1. Định nghĩa và khái niệm: Người dùng muốn hiểu rõ về số phức z và ý nghĩa của việc “thỏa mãn” một điều kiện nào đó.
2. Phương pháp giải bài tập: Người dùng tìm kiếm các phương pháp, kỹ năng và bước giải chi tiết cho các dạng bài tập khác nhau.
3. Ví dụ minh họa: Người dùng muốn xem các ví dụ cụ thể để hiểu rõ hơn về cách áp dụng phương pháp giải.
4. Bài tập tự luyện: Người dùng cần bài tập để tự thực hành và củng cố kiến thức.
5. Ứng dụng của số phức: Người dùng tò mò về các ứng dụng thực tế của số phức trong các lĩnh vực khác nhau.

9. Tại Sao Nên Học Số Phức Trên Tic.edu.vn?

tic.edu.vn tự hào là nền tảng giáo dục trực tuyến hàng đầu, cung cấp nguồn tài liệu phong phú và chất lượng về số phức, bao gồm:

• Bài giảng chi tiết: Được biên soạn bởi đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm, giúp bạn nắm vững kiến thức từ cơ bản đến nâng cao.
• Ví dụ đa dạng: Cung cấp nhiều ví dụ minh họa, giúp bạn hiểu rõ cách áp dụng lý thuyết vào giải bài tập.
• Bài tập tự luyện phong phú: Cung cấp hàng ngàn bài tập tự luyện với đủ các mức độ khó khác nhau, giúp bạn rèn luyện kỹ năng giải toán.
• Diễn đàn trao đổi: Tạo môi trường để bạn trao đổi, thảo luận với các bạn học khác và được giải đáp thắc mắc bởi giáo viên.

Ngoài ra, tic.edu.vn còn cung cấp các công cụ hỗ trợ học tập hiệu quả như:

• Công cụ vẽ đồ thị: Giúp bạn dễ dàng hình dung các bài toán hình học liên quan đến số phức.
• Công cụ tính toán số phức: Giúp bạn thực hiện các phép toán với số phức một cách nhanh chóng và chính xác.

tic.edu.vn cam kết mang đến cho bạn trải nghiệm học tập tốt nhất, giúp bạn chinh phục mọi bài toán về số phức và đạt được thành công trong học tập.

10. Lời Kêu Gọi Hành Động

Bạn đang gặp khó khăn trong việc giải các bài toán cho số phức z thỏa mãn? Bạn muốn tìm kiếm một nguồn tài liệu học tập chất lượng và đáng tin cậy? Hãy truy cập ngay tic.edu.vn để khám phá kho tài liệu phong phú và các công cụ hỗ trợ học tập hiệu quả. Với tic.edu.vn, việc học số phức trở nên dễ dàng và thú vị hơn bao giờ hết. Đừng bỏ lỡ cơ hội nâng cao kiến thức và kỹ năng của bạn ngay hôm nay.

Liên hệ:

• Email: [email protected]
• Trang web: tic.edu.vn

FAQ – Câu Hỏi Thường Gặp Về Số Phức và Tic.edu.vn

1. Số phức có ứng dụng gì trong thực tế?
   Số phức có nhiều ứng dụng quan trọng trong các lĩnh vực như điện tử, cơ học lượng tử, xử lý tín hiệu và điều khiển học.

2. Tôi có thể tìm thấy những dạng bài tập nào về số phức trên tic.edu.vn?
   tic.edu.vn cung cấp đa dạng các dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao, bao gồm tìm số phức thỏa mãn điều kiện, tìm tập hợp điểm biểu diễn, tính giá trị biểu thức, tìm GTLN, GTNN và ứng dụng vào hình học.

3. Làm thế nào để sử dụng hiệu quả các công cụ hỗ trợ học tập trên tic.edu.vn?
   Hãy tận dụng các công cụ vẽ đồ thị để hình dung bài toán, công cụ tính toán số phức để kiểm tra kết quả và diễn đàn trao đổi để học hỏi từ cộng đồng.

4. tic.edu.vn có cập nhật thông tin và tài liệu mới thường xuyên không?
   Có, tic.edu.vn luôn cập nhật thông tin giáo dục mới nhất và bổ sung tài liệu học tập phong phú để đáp ứng nhu cầu của người học.

5. Tôi có thể liên hệ với ai nếu có thắc mắc về nội dung bài học trên tic.edu.vn?
   Bạn có thể gửi email về địa chỉ [email protected] để được hỗ trợ và giải đáp thắc mắc.

6. tic.edu.vn có cung cấp các khóa học trực tuyến về số phức không?
   Hiện tại, tic.edu.vn tập trung vào cung cấp tài liệu và công cụ hỗ trợ. Tuy nhiên, chúng tôi có kế hoạch phát triển các khóa học trực tuyến trong tương lai.

7. Làm thế nào để tham gia cộng đồng học tập trên tic.edu.vn?
   Bạn có thể tham gia diễn đàn trao đổi trên trang web để kết nối với các bạn học khác và chia sẻ kiến thức.

8. tic.edu.vn có đảm bảo tính chính xác của thông tin và tài liệu cung cấp không?
   tic.edu.vn luôn kiểm duyệt kỹ lưỡng nội dung và tài liệu trước khi đăng tải để đảm bảo tính chính xác và tin cậy.

9. tic.edu.vn có những ưu điểm gì so với các nguồn tài liệu học tập khác?
   tic.edu.vn nổi bật với sự đa dạng, cập nhật, hữu ích, cộng đồng hỗ trợ và các công cụ hỗ trợ học tập hiệu quả.

10. Tôi có thể đóng góp ý kiến để cải thiện tic.edu.vn như thế nào?
    Chúng tôi luôn hoan nghênh mọi ý kiến đóng góp từ người dùng. Bạn có thể gửi phản hồi qua email hoặc trực tiếp trên trang web.