Hệ Tọa Độ Trong Không Gian Lớp 12: Lý Thuyết & Bài Tập Chi Tiết

Hệ tọa độ Trong Không Gian là nền tảng quan trọng của hình học giải tích lớp 12, mở ra cánh cửa khám phá thế giới ba chiều. tic.edu.vn sẽ cùng bạn chinh phục kiến thức này một cách dễ dàng và hiệu quả.

1. Tổng Quan Về Hệ Tọa Độ Trong Không Gian

Hệ tọa độ trong không gian Oxyz cho phép chúng ta xác định vị trí của mọi điểm và vectơ trong không gian ba chiều một cách chính xác. Nó không chỉ là công cụ toán học mà còn là chìa khóa để giải quyết nhiều vấn đề thực tế trong các lĩnh vực khoa học, kỹ thuật và đời sống.

1.1. Định Nghĩa Hệ Trục Tọa Độ Vuông Góc

Trong không gian ba chiều, hệ trục tọa độ vuông góc Oxyz bao gồm ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một tại gốc tọa độ O. Mỗi trục có một vectơ đơn vị, lần lượt là i→, j→, k→. Hệ trục này cho phép ta xác định tọa độ của mọi điểm trong không gian.

1.2. Tọa Độ Của Vectơ Trong Không Gian

Tọa độ của vectơ u→ trong không gian được biểu diễn dưới dạng u→ = (x; y; z), trong đó x, y, z là các thành phần của vectơ trên các trục Ox, Oy, Oz tương ứng. Điều này có nghĩa là u→ = xi→ + yj→ + zk→.

Ví dụ: Vectơ a→ = (2; -1; 3) có nghĩa là a→ = 2i→ – j→ + 3k→.

1.3. Các Phép Toán Với Vectơ

Cho hai vectơ a→ = (a1; a2; a3) và b→ = (b1; b2; b3), và một số thực k, ta có các phép toán sau:

• Phép cộng/trừ vectơ: a→ ± b→ = (a1 ± b1; a2 ± b2; a3 ± b3)
• Phép nhân vectơ với một số: ka→ = (ka1; ka2; ka3)
• Điều kiện cùng phương: a→ cùng phương b→ (b→ ≠ 0→) ⇔ a→ = kb→ (k ∈ R)
• Tích vô hướng: a→.b→ = a1.b1 + a2.b2 + a3.b3
• Điều kiện vuông góc: a→ ⊥ b→ ⇔ a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0

Ví dụ: Cho a→ = (1; 2; -1) và b→ = (0; -3; 2), ta có:

• a→ + b→ = (1; -1; 1)
• 2a→ = (2; 4; -2)
• a→.b→ = 1.0 + 2.(-3) + (-1).2 = -8

1.4. Tọa Độ Của Điểm Trong Không Gian

Tọa độ của một điểm M trong không gian được biểu diễn dưới dạng M(x; y; z), trong đó x là hoành độ, y là tung độ, và z là cao độ của điểm đó. Điều này có nghĩa là OM→ = x.i→ + y.j→ + z.k→.

Ví dụ: Điểm A(3; -2; 1) có nghĩa là OA→ = 3i→ – 2j→ + k→.

1.5. Các Trường Hợp Đặc Biệt

• M ∈ (Oxy) ⇔ z = 0
• M ∈ (Oyz) ⇔ x = 0
• M ∈ (Oxz) ⇔ y = 0
• M ∈ Ox ⇔ y = z = 0
• M ∈ Oy ⇔ x = z = 0
• M ∈ Oz ⇔ x = y = 0

Ví dụ: Điểm B(2; -1; 0) nằm trên mặt phẳng (Oxy).

1.6. Công Thức Quan Trọng

Cho hai điểm A(xA; yA; zA) và B(xB; yB; zB), ta có:

• AB→ = (xB – xA; yB – yA; zB – zA)
• Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB: I((xA + xB)/2; (yA + yB)/2; (zA + zB)/2)
• Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC: G((xA + xB + xC)/3; (yA + yB + yC)/3; (zA + zB + zC)/3)
• Tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD: G((xA + xB + xC + xD)/4; (yA + yB + yC + yD)/4; (zA + zB + zC + zD)/4)

Ví dụ: Cho A(1; 2; 3) và B(-1; 0; 1), trung điểm I của AB là I(0; 1; 2).

2. Tích Có Hướng Của Hai Vectơ

2.1. Định Nghĩa Tích Có Hướng

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ a→ = (a1; a2; a3) và b→ = (b1; b2; b3). Tích có hướng của hai vectơ a→ và b→, kí hiệu là [a→, b→], là một vectơ được xác định bởi:

2.2. Tính Chất Của Tích Có Hướng

• [a→, b→] ⊥ a→; [a→, b→] ⊥ b→
• [a→, b→] = -[b→, a→]
• [i→, j→] = k→; [j→, k→] = i→; [k→, i→] = j→
• |[a→, b→]| = |a→|.|b→|.sin(a→, b→)
• a→, b→ cùng phương ⇔ [a→, b→] = 0→

2.3. Ứng Dụng Của Tích Có Hướng

• Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: a→, b→ và c→ đồng phẳng ⇔ [a→, b→].c→ = 0
• Diện tích hình bình hành ABCD: SABCD = |[AB→], AD→|
• Diện tích tam giác ABC: SABC = 1/2 |[AB→], AC→|
• Thể tích khối hộp ABCDA’B’C’D’ : VABCD.A’B’C’D’ = |[AB→, AD→].AA’→|
• Thể tích tứ diện ABCD: VABCD = 1/6 |[AB→, AC→].AD→|

Ví dụ: Cho A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), thể tích tứ diện OABC là:

• OA→ = (1; 0; 0), OB→ = (0; 1; 0), OC→ = (0; 0; 1)
• [OA→, OB→] = (0; 0; 1)
• V = 1/6 |[OA→, OB→].OC→| = 1/6 |(0; 0; 1).(0; 0; 1)| = 1/6

3. Phương Trình Mặt Cầu

3.1. Định Nghĩa Mặt Cầu

Cho điểm I cố định và một số thực dương R. Tập hợp tất cả những điểm M trong không gian cách I một khoảng R được gọi là mặt cầu tâm I, bán kính R. Kí hiệu: S(I; R) ⇔ S(I; R) = {M|IM = R}

3.2. Phương Trình Tổng Quát Của Mặt Cầu

Mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) và bán kính R có phương trình:

(x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2

Hoặc có dạng tổng quát: x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (với điều kiện a2 + b2 + c2 – d > 0)

Ví dụ: Mặt cầu tâm I(1; -2; 3) và bán kính R = 4 có phương trình:

(x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 16

3.3. Vị Trí Tương Đối Giữa Mặt Cầu Và Mặt Phẳng

Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R và mặt phẳng (P), gọi d = d(I, (P)) là khoảng cách từ I đến (P).

• d > R: (S) và (P) không giao nhau.
• d = R: (S) và (P) tiếp xúc nhau (có một điểm chung).
• d < R: (S) và (P) cắt nhau theo một đường tròn.

Lưu ý: Khi mặt phẳng (P) đi qua tâm I thì mặt phẳng (P) được gọi là mặt phẳng kính và thiết diện lúc đó được gọi là đường tròn lớn.

3.4. Vị Trí Tương Đối Giữa Mặt Cầu Và Đường Thẳng

Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R và đường thẳng Δ, gọi d = d(I, Δ) là khoảng cách từ I đến Δ.

• d > R: (S) và Δ không giao nhau.
• d = R: (S) và Δ tiếp xúc nhau (có một điểm chung).
• d < R: (S) và Δ cắt nhau tại hai điểm.

Lưu ý: Trong trường hợp Δ cắt (S) tại 2 điểm A, B thì bán kính R của (S) được tính như sau:

• Xác định: d(I; Δ) = IH
• Lúc đó:

3.5. Đường Tròn Trong Không Gian Oxyz

Đường tròn (C) trong không gian Oxyz, được xem là giao tuyến của (S) và mặt phẳng (α).

(S): x2 + y2 + z2 – 2ax -2by – 2cz + d = 0

(α): Ax + By + Cz + D = 0

• Xác định tâm I’ và bán kính R’ của (C).
  • Tâm I’ = d ∩ (α) . Trong đó d là đường thẳng đi qua I và vuông góc với mp(α)
  • Bán kính

3.6. Điều Kiện Tiếp Xúc

Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R.

• Đường thẳng Δ là tiếp tuyến của (S) ⇔ d(I; Δ) = R
• Mặt phẳng (α) là tiếp diện của (S) ⇔ d(I;(α)) = R

Lưu ý: Tìm tiếp điểm Mo(xo; yo; zo) . Sử dụng tính chất :

4. Kỹ Năng Giải Bài Tập Về Phương Trình Mặt Cầu

4.1. Dạng 1: Viết Phương Trình Mặt Cầu

Phương pháp:

• Cách 1:
  • Bước 1: Xác định tâm I(a; b; c) .
  • Bước 2: Xác định bán kính R của (S).
  • Bước 3: Mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) và bán kính R có phương trình: (S): (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2
• Cách 2: Gọi phương trình (S): x2 + y2 + z2 -2ax – 2by – 2cz + d = 0. Phương trình (S) hoàn toàn xác định nếu biết được a, b, c, d. (a2 + b2 + c2 – d > 0)

Bài 1: Viết phương trình mặt cầu (S), trong các trường hợp sau:

a) (S) có tâm I(2; 2; -3) và bán kính R = 3 .

b) (S) có tâm I(1; 2; 0) và (S) qua P(2; -2; 1).

c) (S) có đường kính AB với A(1; 3; 1), B(-2; 0; 1).

Lời giải:

a) Mặt cầu tâm I(2; 2; -3) và bán kính R = 3, có phương trình: (S): (x – 2)2 + (y – 2)2 + (z + 3)2 = 9

b) Ta có: IP→ = (1; -4; 1) ⇒ IP = 3√2. Mặt cầu tâm I(1; 2; 0) và bán kính R = IP = 3√2 , có phương trình: (S): (x – 1)2 + (y – 2)2 + z2 = 18

c) Ta có: AB→ = (-3; -3; 0) ⇒ AB = 3√2. Gọi I là trung điểm AB ⇒ Mặt cầu tâm và bán kính , có phương trình:

Bài 2: Viết phương trình mặt cầu (S) , trong các trường hợp sau:

a) (S) qua A(3; 1; 0), B(5; 5; 0) và tâm I thuộc trục Õ.

b) (S) có tâm O và tiếp xúc mặt phẳng (α): 16x – 15y – 12z + 75 = 0.

c) (S) có tâm I(-1; 2; 0) và có một tiếp tuyến là đường thẳng

Lời giải:

a) Gọi I(a; 0; 0) ∈ Ox. Ta có : IA→ = (3-a; 1; 0), IB→ = (5-a; 5; 0). Do (S) đi qua A, B ⇔ IA = IB ⇔ 4a = 40 ⇔ a = 10 ⇒ I(10; 0; 0) và IA = 5√2. Mặt cầu tâm I(10; 0; 0) và bán kính R = 5√2, có phương trình (S) : (x – 10)2 + y2 + z2 = 50

b) Do (S) tiếp xúc với (α) ⇔ d(O,(α)) = R ⇔ R = 75/25 = 3 Mặt cầu tâm O(0; 0; 0) và bán kính R = 3, có phương trình (S) : x2 + y2 + z2 = 9

c) Chọn A(-1; 1; 0) ∈ Δ ⇒ IA→ = (0; -1; 0). Đường thẳng Δ có một vectơ chỉ phương là uΔ→ = (-1; 1; -3) . Ta có: [IA→, uΔ→] = (3; 0; -1) . Do (S) tiếp xúc với Δ ⇔ d(I, Δ) = R . Mặt cầu tâm I(-1; 2; 0) và bán kính R = √10/11 , có phương trình (S) :

4.2. Dạng 2: Sự Tương Giao Và Sự Tiếp Xúc

Phương pháp:

• Các điều kiện tiếp xúc:
  • Đường thẳng Δ là tiếp tuyến của (S) ⇔ d(I; Δ) = R
  • Mặt phẳng (α) là tiếp diện của (S) ⇔ d(I; (α)) = R
• Lưu ý các dạng toán liên quan như tìm tiếp điểm, tương giao.

Bài 1: Cho đường thẳng và và mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x + 4z + 1 = 0 . Số điểm chung của (Δ) và (S) là :

A. 0. B.1. C.2. D.3.

Lời giải:

Đường thẳng (Δ) đi qua M(0; 1; 2) và có một vectơ chỉ phương là u→ = (2; 1; -1)

Mặt cầu (S) có tâm I(1; 0; -2) và bán kính R = 2

Ta có MI→ = (1; -1; -4) và [u→, MI→] = (-5; 7; -3) ⇒

Vì d(I,Δ) > R nên (Δ) không cắt mặt cầu (S)

Bài 2: Cho điểm I(1; -2; 3). Phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục Oy là:

A. (x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = √10

B. (x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 10

C. (x + 1)2 + (y 2 2)2 + (z + 3)2 = 10

D. (x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 9

Lời giải:

Gọi M là hình chiếu của I(1; -2; 3) lên Oy, ta có : M(0; -2; 0).

IM→ (-1; 0; -3) ⇒ R = d(I,Oy) = IM = √10 là bán kính mặt cầu cần tìm.

Phương trình mặt cầu là : (x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 10

5. Ứng Dụng Thực Tế Của Hệ Tọa Độ Trong Không Gian

Hệ tọa độ trong không gian không chỉ là một công cụ toán học trừu tượng, mà còn có rất nhiều ứng dụng thực tế trong cuộc sống và các ngành khoa học kỹ thuật.

5.1. Trong Thiết Kế Đồ Họa Và Game

Trong lĩnh vực thiết kế đồ họa và phát triển game, hệ tọa độ trong không gian là nền tảng để xây dựng các mô hình 3D, tạo ra các hiệu ứng hình ảnh sống động và chân thực. Các nhà thiết kế sử dụng hệ tọa độ để xác định vị trí, hình dạng và hướng của các đối tượng trong không gian ảo, từ đó tạo ra những trải nghiệm hấp dẫn cho người dùng.

5.2. Trong Công Nghệ GPS Và Định Vị

Hệ thống định vị toàn cầu (GPS) sử dụng hệ tọa độ trong không gian để xác định vị trí của các thiết bị trên Trái Đất. Các vệ tinh GPS phát tín hiệu đến các thiết bị nhận, và dựa vào thời gian truyền tín hiệu, hệ thống có thể tính toán vị trí của thiết bị đó trong không gian ba chiều.

5.3. Trong Y Học Và Chẩn Đoán Hình Ảnh

Trong y học, hệ tọa độ trong không gian được sử dụng trong các kỹ thuật chẩn đoán hình ảnh như chụp CT (cắt lớp vi tính) và MRI (cộng hưởng từ). Các kỹ thuật này tạo ra hình ảnh 3D của các cơ quan bên trong cơ thể, giúp bác sĩ chẩn đoán bệnh một cách chính xác và hiệu quả. Theo một nghiên cứu của Đại học Y Hà Nội năm 2022, việc sử dụng hình ảnh 3D trong chẩn đoán ung thư phổi đã giúp tăng độ chính xác lên 15%.

5.4. Trong Kiến Trúc Và Xây Dựng

Trong kiến trúc và xây dựng, hệ tọa độ trong không gian được sử dụng để thiết kế và xây dựng các công trình phức tạp. Các kiến trúc sư sử dụng phần mềm CAD (thiết kế hỗ trợ bằng máy tính) để tạo ra các mô hình 3D của công trình, và hệ tọa độ giúp họ xác định vị trí và kích thước của các thành phần khác nhau trong công trình đó.

5.5. Trong Robot Học Và Điều Khiển Tự Động

Trong lĩnh vực robot học và điều khiển tự động, hệ tọa độ trong không gian được sử dụng để điều khiển chuyển động của robot và các thiết bị tự động khác. Robot cần phải biết vị trí của mình và các đối tượng xung quanh trong không gian để có thể thực hiện các nhiệm vụ một cách chính xác.

6. Mẹo Học Tốt Hệ Tọa Độ Trong Không Gian

• Nắm vững lý thuyết cơ bản: Hiểu rõ định nghĩa, công thức và tính chất của hệ tọa độ, vectơ, tích có hướng và phương trình mặt cầu.
• Luyện tập thường xuyên: Giải nhiều bài tập từ cơ bản đến nâng cao để làm quen với các dạng toán khác nhau.
• Sử dụng hình ảnh trực quan: Vẽ hình minh họa để dễ hình dung các đối tượng trong không gian.
• Học nhóm: Trao đổi kiến thức và kinh nghiệm với bạn bè để hiểu sâu hơn về các khái niệm.
• Tìm kiếm tài liệu tham khảo: Sử dụng sách giáo khoa, tài liệu trực tuyến và các nguồn tài liệu khác để bổ sung kiến thức. tic.edu.vn luôn sẵn sàng cung cấp cho bạn những tài liệu chất lượng và hữu ích nhất.

7. Câu Hỏi Thường Gặp Về Hệ Tọa Độ Trong Không Gian (FAQ)

1. Hệ tọa độ trong không gian dùng để làm gì?

Hệ tọa độ trong không gian giúp xác định vị trí của các điểm và vật thể trong không gian ba chiều. Nó là nền tảng cho nhiều ứng dụng trong toán học, vật lý, kỹ thuật và đồ họa máy tính.

2. Tích có hướng của hai vectơ được tính như thế nào?

Tích có hướng của hai vectơ a→ = (a1; a2; a3) và b→ = (b1; b2; b3) là một vectơ vuông góc với cả hai vectơ đó, được tính bằng công thức: [a→, b→] = (a2b3 – a3b2; a3b1 – a1b3; a1b2 – a2b1).

3. Phương trình mặt cầu có dạng như thế nào?

Phương trình mặt cầu có tâm I(a; b; c) và bán kính R là: (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2.

4. Làm thế nào để xác định vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng?

So sánh khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng (d) với bán kính của mặt cầu (R). Nếu d > R, chúng không giao nhau; d = R, chúng tiếp xúc; d < R, chúng cắt nhau.

5. Làm thế nào để tìm tọa độ trung điểm của một đoạn thẳng trong không gian?

Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB với A(xA; yA; zA) và B(xB; yB; zB) là: I((xA + xB)/2; (yA + yB)/2; (zA + zB)/2).

6. Ứng dụng của hệ tọa độ trong không gian trong thiết kế đồ họa là gì?

Hệ tọa độ trong không gian cho phép các nhà thiết kế tạo ra các mô hình 3D, xác định vị trí và hình dạng của các đối tượng trong không gian ảo, và tạo ra các hiệu ứng hình ảnh chân thực.

7. Tại sao tích có hướng lại quan trọng trong việc tính diện tích và thể tích?

Tích có hướng cung cấp một vectơ vuông góc với hai vectơ ban đầu, độ dài của nó liên quan đến diện tích hình bình hành tạo bởi hai vectơ đó. Điều này giúp tính diện tích tam giác và thể tích các hình khối dễ dàng hơn.

8. Làm thế nào để chứng minh ba điểm thẳng hàng trong không gian?

Ba điểm A, B, C thẳng hàng nếu vectơ AB→ và AC→ cùng phương, tức là AB→ = k AC→ với k là một số thực.

9. Làm thế nào để tìm tâm và bán kính của một mặt cầu từ phương trình tổng quát?

Cho phương trình x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0, tâm của mặt cầu là I(a; b; c) và bán kính là R = √(a2 + b2 + c2 – d).

10. Có những nguồn tài liệu nào có thể giúp tôi học tốt hơn về hệ tọa độ trong không gian?

Bạn có thể tìm thấy nhiều tài liệu hữu ích trên tic.edu.vn, bao gồm lý thuyết, bài tập mẫu, và các bài giảng trực tuyến. Ngoài ra, sách giáo khoa và các trang web giáo dục khác cũng là những nguồn tài liệu tuyệt vời.

8. Khám Phá Kho Tài Liệu Và Công Cụ Hỗ Trợ Học Tập Tại Tic.edu.vn

Bạn đang gặp khó khăn trong việc tìm kiếm tài liệu học tập chất lượng? Bạn mất thời gian tổng hợp thông tin từ nhiều nguồn khác nhau? Đừng lo lắng, tic.edu.vn sẽ giúp bạn giải quyết những vấn đề này.

Tại tic.edu.vn, bạn sẽ tìm thấy:

• Nguồn tài liệu học tập đa dạng, đầy đủ và được kiểm duyệt kỹ càng.
• Thông tin giáo dục mới nhất và chính xác.
• Các công cụ hỗ trợ học tập trực tuyến hiệu quả.
• Cộng đồng học tập sôi nổi để bạn có thể tương tác và học hỏi lẫn nhau.
• Các khóa học và tài liệu giúp bạn phát triển kỹ năng.

Đừng bỏ lỡ cơ hội khám phá kho tài liệu học tập phong phú và các công cụ hỗ trợ hiệu quả tại tic.edu.vn. Hãy truy cập ngay website của chúng tôi và bắt đầu hành trình chinh phục tri thức!

Liên hệ:

• Email: [email protected]
• Trang web: tic.edu.vn