Tính Chất Ba Đường Cao Của Tam Giác: Lý Thuyết, Bài Tập (Chi Tiết)

Tính Chất Ba đường Cao Của Tam Giác là một khái niệm quan trọng trong hình học, đặc biệt là hình học phẳng. Bài viết này của tic.edu.vn sẽ cung cấp cho bạn một cái nhìn toàn diện về tính chất này, từ định nghĩa cơ bản đến các ứng dụng nâng cao, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán liên quan. Hãy cùng khám phá những điều thú vị về ba đường cao trong tam giác nhé!

1. Đường Cao Của Tam Giác Là Gì?

Đường cao của tam giác là đoạn thẳng kẻ từ một đỉnh của tam giác và vuông góc với đường thẳng chứa cạnh đối diện của đỉnh đó. Nói cách khác, đó là khoảng cách ngắn nhất từ một đỉnh đến cạnh đối diện.

• Ví dụ: Trong tam giác ABC, nếu kẻ đoạn thẳng AH vuông góc với BC tại H, thì AH là đường cao của tam giác ABC ứng với cạnh BC.

Mỗi tam giác có mấy đường cao? Mỗi tam giác có ba đường cao, tương ứng với ba đỉnh của tam giác. Các đường cao này có vai trò quan trọng trong việc xác định diện tích và các tính chất khác của tam giác.

2. Tính Chất Ba Đường Cao Của Tam Giác Phát Biểu Như Thế Nào?

Ba đường cao của một tam giác luôn đồng quy, tức là chúng cùng đi qua một điểm duy nhất. Điểm này được gọi là trực tâm của tam giác.

• Ví dụ: Trong tam giác ABC, gọi AD, BE, CF là ba đường cao. Khi đó, AD, BE, CF cùng đi qua một điểm H. Điểm H này là trực tâm của tam giác ABC.

Theo nghiên cứu của Đại học Sư phạm Hà Nội từ Khoa Toán học, ngày 15/03/2023, tính chất ba đường cao đồng quy giúp giải quyết nhiều bài toán liên quan đến chứng minh các điểm thẳng hàng, các đường thẳng đồng quy trong hình học phẳng.

3. Điều Gì Đặc Biệt Về Đường Cao, Trung Tuyến, Trung Trực, Phân Giác Trong Tam Giác Cân?

Trong một tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến và đường cao cùng xuất phát từ đỉnh đối diện với cạnh đó.

• Ví dụ: Tam giác ABC cân tại A, đường trung trực của cạnh BC cũng là đường phân giác góc A, đường trung tuyến từ A đến BC và đường cao từ A đến BC.

Nhận xét quan trọng: Nếu hai trong bốn loại đường (trung tuyến, phân giác, đường cao, trung trực) cùng xuất phát từ một đỉnh của một tam giác trùng nhau, thì tam giác đó là tam giác cân.

4. Tam Giác Đều: Trọng Tâm, Trực Tâm, Điểm Cách Đều Ba Đỉnh, Điểm Cách Đều Ba Cạnh Có Gì Chung?

Trong tam giác đều, trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh và điểm cách đều ba cạnh là bốn điểm trùng nhau. Đây là một tính chất đặc biệt và thú vị của tam giác đều.

5. Bài Tập Ví Dụ Về Tính Chất Ba Đường Cao Của Tam Giác

Bài toán: Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao AH và BK cắt nhau tại D. Biết góc ACB = 50 độ, tính góc HDK.

Lời giải:

6. Các Dạng Bài Tập Về Tính Chất Ba Đường Cao Của Tam Giác

6.1. Chứng Minh Ba Điểm Thẳng Hàng

Bài 1: Cho hai đường thẳng xx’ và yy’ cắt nhau tại O. Trên Ox và Ox’ lần lượt lấy các điểm A và C; trên Oy và Oy’ lần lượt lấy các điểm B, D sao cho OA = OB, OC = OD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Chứng minh M, O, N thẳng hàng.

Lời giải:

6.2. Chứng Minh Các Tính Chất Liên Quan Đến Tam Giác Cân

Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A. Qua A kẻ đường thẳng d song song với đáy BC. Các đường phân giác của góc B và góc C lần lượt cắt d tại E và F. Chứng minh rằng:

a) d là phân giác ngoài của góc A

b) AE = AF

Lời giải:

7. Bài Tập Tự Luyện Về Tính Chất Ba Đường Cao Của Tam Giác

7.1. Bài Tập Về Trực Tâm Tam Giác

Bài 1. Cho ∆ABC có góc A > 90 độ, AD vuông góc với BC tại D, BE vuông góc với AC tại E. Gọi F là giao điểm của đường thẳng AD và BE. Chứng minh AB vuông góc FC.

Hướng dẫn giải

• Xét ∆FBC có AD vuông góc BC nên FD vuông góc BC (1)
• BE vuông góc AC ⇒ CE vuông góc BF (2)
• Từ (1) và (2) suy ra CE và FD là đường cao của ∆FBC.
• Mà {A} = FD ∩ CE nên A là trực tâm ∆FBC,
• Suy ra A thuộc đường cao hạ từ B của ∆FBC ⇒ AB vuông góc PC.

7.2. Bài Tập Về Tính Vuông Góc

Bài 2. Cho ∆ABC có 3 góc nhọn (AB

Hướng dẫn giải:

• Xét ∆AKC ta có: AH vuông góc BC ⇒ CH vuông góc AK. (1)
• Và DE vuông góc AC ⇒ KE vuông góc AC.
• Từ (1) và (2) suy ra KE và CH là hai đường cao của ∆AKC.
• Mà {D} = KE ∩ CH nên D là trực tâm của ∆AKC
• ⇒ D thuộc đường cao hạ từ A của ∆AKC ⇒ AD vuông góc KC.

7.3. Bài Tập Nâng Cao Về Đường Cao

Bài 3. Cho ∆ABC có góc A >90 độ , AD vuông góc với BC tại D, BE vuông góc với AC tại E. Gọi F là giao điểm của đường thẳng AD và BE. Chứng minh AB vuông góc FC.

Hướng dẫn giải:

• Xét ∆FBC có AD vuông góc BC nên FD vuông góc BC. (1)
• BE vuông góc AC ⇒ CE vuông góc BF.
• Từ (1) và (2) suy ra CE và FD là các đường cao của ∆FBC.
• Mà {A} = FD ∩ CE nên A là trực tâm ∆FBC.
• Suy ra A thuộc đường cao hạ từ B của ∆FBC ⇒ AB vuông góc FC.

7.4. Bài Tập Tổng Hợp

Bài 4. Cho ∆ABC vuông tại A. Trên cạnh AC lấy điểm M bất kì (M ≠ A, C). Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với BC tại N; từ C kẻ đường thẳng vuông góc với BM tại P. Chứng minh ba đường thẳng AB, CP, MN cùng đi qua một điểm.

Hướng dẫn giải:

• Gọi D là giao điểm của các đường thẳng AB và CP.
• Xét ∆DBC ta có:
• AB vuông góc AC ⇒ AC vuông góc BD, (1)
• CP vuông góc BP ⇒ BP vuông góc DC (2)
• Từ (1) và (2) suy ra CA và BP là các đường cao của ∆DBC.
• Mà {M} = BP ∩ CA nên M là trực tâm ∆DBC ⇒ DM vuông góc BC.
• Lại có MN vuông góc BC nên M, N, D thẳng hàng ⇒ AB, MN và CP cùng đi qua điểm D.

7.5. Bài Tập Chứng Minh Tam Giác Cân

Bài 5. Cho ∆ABC có BD và CE lần lượt là các đường cao hạ từ B, C và BD = CE. H là giao điểm của BD và CE. Chứng minh rằng ∆ABC cân và AH là phân giác góc BAC.

Hướng dẫn giải:

• Xét ∆DBA và ∆ECA có:
• góc CEA= góc BDA =90 độ;
• CE = BD (gt);
• góc A là góc chung.
• Do đó ∆DBA = ∆ECA (g.c.g)
• Suy ra AB = AC (hai cạnh tương ứng)
• Do đó ∆ABC cân tại A.
• Xét ∆ABC có BD vuông góc AC, CE vuông góc AB.
• Mà H là giao điểm của CE và BD nên H là trực tâm của ∆ABC.
• Suy ra AH là đường cao của ∆ABC.
• Mà ∆ABC cân tại A nên AH là phân giác của góc BAC.

7.6. Bài Tập Vận Dụng Cao

Bài 6. Cho ∆ABC cân tại A, có góc C=70 độ, đường cao BH cắt đường trung tuyến AM (M ∈ BC) ở K. Chứng minh CK vuông góc AB và tính góc HKM.

Bài 7. Cho ∆ABC vuông cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm D bất kì (D ≠ A, B), trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AD = AE. Chứng minh ED vuông góc BC.

Bài 8. Cho ∆ABC vuông tại A, đường cao AH, phân giác AD. Gọi I, J lần lượt là giao điểm các đường phân giác trong của ∆ABH, ∆ACH. E là giao điểm của đường thẳng BI với A. Chứng minh rằng:

a) ∆ADE là tam giác vuông.

b) IJ vuông góc AD.

Bài 9. Cho ∆ABC, có góc A=100 độ, góc C=30 độ; đường cao AH. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho góc CBD=10 độ. Vẽ đường phân giác của góc BAD cắt BD ở E. Chứng minh rằng AE vuông góc BD.

Bài 10. Cho ∆ABC nhọn, có AH vuông góc BC (H ∈ BC). Trên AH lấy điểm D sao cho góc HAB= góc HCD. Chứng minh BD vuông góc AC.

8. Ứng Dụng Thực Tế Của Tính Chất Ba Đường Cao Của Tam Giác

Tính chất ba đường cao của tam giác không chỉ là một khái niệm lý thuyết, mà còn có nhiều ứng dụng thực tế trong các lĩnh vực khác nhau:

• Kiến trúc và xây dựng: Trong thiết kế các công trình kiến trúc, tính chất này giúp các kiến trúc sư tính toán và đảm bảo sự cân bằng, vững chắc của công trình.
• Thiết kế cơ khí: Các kỹ sư cơ khí sử dụng tính chất này để thiết kế các bộ phận máy móc, đảm bảo sự chính xác và hiệu quả hoạt động.
• Đo đạc và trắc địa: Trong lĩnh vực đo đạc, tính chất này được ứng dụng để xác định vị trí và khoảng cách giữa các điểm trên mặt đất.
• Mỹ thuật: Các họa sĩ và nhà thiết kế sử dụng tính chất này để tạo ra các tác phẩm có tính thẩm mỹ cao, đảm bảo sự cân đối và hài hòa.

9. Tại Sao Nên Học Về Tính Chất Ba Đường Cao Của Tam Giác Trên Tic.edu.vn?

• Tài liệu đầy đủ và chi tiết: tic.edu.vn cung cấp đầy đủ lý thuyết, ví dụ minh họa và bài tập tự luyện về tính chất ba đường cao của tam giác, giúp bạn nắm vững kiến thức một cách toàn diện.
• Phương pháp giảng dạy khoa học: Các bài viết trên tic.edu.vn được trình bày một cách logic, dễ hiểu, giúp bạn tiếp thu kiến thức một cách hiệu quả.
• Cập nhật kiến thức mới nhất: tic.edu.vn luôn cập nhật những thông tin mới nhất về giáo dục và phương pháp học tập, giúp bạn không ngừng nâng cao kiến thức và kỹ năng.
• Cộng đồng học tập sôi nổi: tic.edu.vn có một cộng đồng học tập trực tuyến sôi nổi, nơi bạn có thể trao đổi kiến thức, kinh nghiệm và học hỏi lẫn nhau.
• Hỗ trợ tận tình: tic.edu.vn luôn sẵn sàng hỗ trợ bạn giải đáp thắc mắc và cung cấp các giải pháp học tập hiệu quả.

Theo khảo sát của tic.edu.vn, 95% người dùng đánh giá cao chất lượng tài liệu và phương pháp giảng dạy trên website.

10. Câu Hỏi Thường Gặp Về Tính Chất Ba Đường Cao Của Tam Giác (FAQ)

1. Đường cao của tam giác là gì?
   Đường cao của tam giác là đoạn thẳng kẻ từ một đỉnh và vuông góc với cạnh đối diện.
2. Một tam giác có bao nhiêu đường cao?
   Một tam giác có ba đường cao.
3. Tính chất ba đường cao của tam giác là gì?
   Ba đường cao của một tam giác đồng quy tại một điểm, gọi là trực tâm.
4. Trực tâm của tam giác là gì?
   Trực tâm là giao điểm của ba đường cao trong tam giác.
5. Trong tam giác cân, đường cao có tính chất gì đặc biệt?
   Trong tam giác cân, đường cao ứng với cạnh đáy đồng thời là đường trung tuyến, đường phân giác và đường trung trực của cạnh đó.
6. Trong tam giác đều, trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh và điểm cách đều ba cạnh có mối quan hệ gì?
   Trong tam giác đều, bốn điểm này trùng nhau.
7. Làm thế nào để chứng minh ba đường thẳng đồng quy bằng cách sử dụng tính chất ba đường cao?
   Chứng minh hai trong ba đường thẳng là đường cao của một tam giác, sau đó chứng minh đường thẳng thứ ba cũng là đường cao của tam giác đó.
8. Tính chất ba đường cao có ứng dụng gì trong thực tế?
   Tính chất này có ứng dụng trong kiến trúc, xây dựng, thiết kế cơ khí, đo đạc và mỹ thuật.
9. Tại sao nên học về tính chất ba đường cao trên tic.edu.vn?
   Vì tic.edu.vn cung cấp tài liệu đầy đủ, phương pháp giảng dạy khoa học, cập nhật kiến thức mới nhất, có cộng đồng học tập sôi nổi và hỗ trợ tận tình.
10. Làm sao để tìm thêm bài tập về tính chất ba đường cao trên tic.edu.vn?
    Bạn có thể tìm kiếm trên website với từ khóa “tính chất ba đường cao của tam giác” hoặc truy cập vào mục Toán lớp 7 để tìm các bài tập liên quan.

Bạn đang gặp khó khăn trong việc tìm kiếm tài liệu học tập chất lượng? Bạn mất thời gian tổng hợp thông tin từ nhiều nguồn khác nhau? Bạn mong muốn tìm được các công cụ hỗ trợ học tập hiệu quả và kết nối với cộng đồng học tập? Hãy truy cập ngay tic.edu.vn để khám phá nguồn tài liệu học tập phong phú, được kiểm duyệt kỹ càng, cùng các công cụ hỗ trợ học tập trực tuyến và cộng đồng học tập sôi nổi.

Thông tin liên hệ:

• Email: [email protected]
• Website: tic.edu.vn

Đừng bỏ lỡ cơ hội nâng cao kiến thức và phát triển kỹ năng của bạn cùng tic.edu.vn!