Tỉ Số Lượng Giác Của Góc Nhọn: Định Nghĩa, Ứng Dụng & Bài Tập

Tỉ Số Lượng Giác Của Góc Nhọn là một khái niệm quan trọng trong toán học, đặc biệt là hình học lớp 9. Bạn đang tìm kiếm tài liệu học tập chất lượng và đáng tin cậy về chủ đề này? tic.edu.vn cung cấp nguồn tài liệu đa dạng, đầy đủ và được kiểm duyệt, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin chinh phục các bài tập liên quan đến tỉ số lượng giác.

1. Tỉ Số Lượng Giác Của Góc Nhọn Là Gì?

Tỉ số lượng giác của góc nhọn là tỷ lệ giữa các cạnh của một tam giác vuông liên quan đến một trong các góc nhọn của tam giác đó. Theo “Toán học rời rạc và ứng dụng” của Kenneth H. Rosen, các tỉ số này giúp chúng ta giải quyết các bài toán liên quan đến tam giác vuông một cách hiệu quả.

1.1. Định Nghĩa Các Tỉ Số Lượng Giác Cơ Bản

Trong một tam giác vuông ABC vuông tại A, xét góc nhọn B (hoặc góc C), ta có các tỉ số lượng giác sau:

• Sin (sin): sinB = cạnh đối / cạnh huyền = AC / BC
• Côsin (cos): cosB = cạnh kề / cạnh huyền = AB / BC
• Tang (tan): tanB = cạnh đối / cạnh kề = AC / AB
• Côtang (cot): cotB = cạnh kề / cạnh đối = AB / AC

1.2. Mối Quan Hệ Giữa Các Tỉ Số Lượng Giác Của Hai Góc Phụ Nhau

Nếu hai góc là phụ nhau (tổng bằng 90°), thì sin góc này bằng côsin góc kia, và tang góc này bằng côtang góc kia.

Ví dụ: Nếu góc B và góc C là hai góc phụ nhau trong tam giác vuông ABC, thì:

• sinB = cosC
• cosB = sinC
• tanB = cotC
• cotB = tanC

Theo nghiên cứu từ Đại học Sư phạm Hà Nội, việc nắm vững mối quan hệ này giúp học sinh giải quyết bài tập nhanh và chính xác hơn.

1.3. Các Hệ Thức Lượng Giác Cơ Bản

Các hệ thức lượng giác cơ bản là nền tảng để giải các bài toán liên quan. Dưới đây là một số hệ thức quan trọng:

• sin²α + cos²α = 1
• tanα = sinα / cosα
• cotα = cosα / sinα
• tanα . cotα = 1
• 1 + tan²α = 1 / cos²α
• 1 + cot²α = 1 / sin²α

1.4. Bảng Giá Trị Lượng Giác Của Một Số Góc Đặc Biệt

Bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt (0°, 30°, 45°, 60°, 90°) là công cụ hữu ích giúp bạn tính toán nhanh chóng và chính xác.

Góc (α)	0°	30°	45°	60°	90°
sinα	0	1/2	√2/2	√3/2	1
cosα	1	√3/2	√2/2	1/2	0
tanα	0	√3/3	1	√3	//
cotα	//	√3	1	√3/3	0

Lưu ý: // biểu thị không xác định.

1.5. Ứng dụng tỉ số lượng giác trong giải toán thực tế

Tỉ số lượng giác không chỉ là lý thuyết suông mà còn có nhiều ứng dụng thực tế trong cuộc sống. Theo “Ứng dụng toán học trong thực tế” của Trần Phương, việc áp dụng tỉ số lượng giác giúp chúng ta giải quyết các vấn đề đo đạc, xây dựng và thiết kế một cách chính xác.

2. Phương Pháp Giải Bài Tập Về Tỉ Số Lượng Giác Của Góc Nhọn

Để giải quyết các bài tập liên quan đến tỉ số lượng giác một cách hiệu quả, bạn cần nắm vững các phương pháp sau:

2.1. Xác Định Các Yếu Tố Đã Biết Và Yếu Tố Cần Tìm

Đọc kỹ đề bài, xác định rõ các yếu tố đã cho (ví dụ: độ dài cạnh, số đo góc) và yếu tố cần tìm (ví dụ: độ dài cạnh còn lại, tỉ số lượng giác).

2.2. Lựa Chọn Tỉ Số Lượng Giác Thích Hợp

Dựa vào các yếu tố đã biết và yếu tố cần tìm, chọn tỉ số lượng giác phù hợp để thiết lập mối quan hệ giữa chúng. Ví dụ: Nếu biết cạnh đối và cạnh huyền, bạn nên sử dụng sin.

2.3. Thiết Lập Phương Trình Và Giải Phương Trình

Sau khi chọn tỉ số lượng giác, thiết lập phương trình dựa trên định nghĩa và các hệ thức lượng giác đã học. Giải phương trình để tìm ra giá trị của yếu tố cần tìm.

2.4. Kiểm Tra Lại Kết Quả

Sau khi tìm ra kết quả, hãy kiểm tra lại tính hợp lý của nó. Ví dụ: Độ dài cạnh phải là một số dương, giá trị của sin và cos phải nằm trong khoảng [-1, 1].

3. Các Dạng Bài Tập Thường Gặp Về Tỉ Số Lượng Giác

3.1. Dạng 1: Tính Các Tỉ Số Lượng Giác Khi Biết Độ Dài Các Cạnh Của Tam Giác Vuông

Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3cm, AC = 4cm. Tính các tỉ số lượng giác của góc B.

Giải:

1. Tính cạnh huyền BC: BC² = AB² + AC² = 3² + 4² = 25 => BC = 5cm

2. Tính các tỉ số lượng giác của góc B:

   • sinB = AC / BC = 4 / 5 = 0.8
   • cosB = AB / BC = 3 / 5 = 0.6
   • tanB = AC / AB = 4 / 3 ≈ 1.33
   • cotB = AB / AC = 3 / 4 = 0.75
     

     3.2. Dạng 2: Tính Độ Dài Các Cạnh Khi Biết Một Cạnh Và Một Góc

Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 5cm, góc C = 30°. Tính độ dài các cạnh AC và BC.

Giải:

1. Tính góc B: Góc B = 90° – Góc C = 90° – 30° = 60°
2. Tính cạnh AC: tanB = AC / AB => AC = AB tanB = 5 tan60° = 5√3 cm
3. Tính cạnh BC: cosB = AB / BC => BC = AB / cosB = 5 / cos60° = 5 / 0.5 = 10cm
   

   3.3. Dạng 3: Chứng Minh Các Hệ Thức Lượng Giác

Chứng minh rằng: sin²α + cos²α = 1

Giải:

Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có:

• sinα = BC / AB
• cosα = AC / AB

=> sin²α + cos²α = (BC / AB)² + (AC / AB)² = (BC² + AC²) / AB²

Theo định lý Pythagoras, BC² + AC² = AB²

=> sin²α + cos²α = AB² / AB² = 1 (đpcm)

3.4. Dạng 4: Giải Các Bài Toán Thực Tế

Một cột đèn cao 5m đổ bóng trên mặt đất dài 8m. Tính góc tạo bởi tia nắng mặt trời và mặt đất.

Giải:

Gọi góc tạo bởi tia nắng mặt trời và mặt đất là α. Ta có:

tanα = chiều cao cột đèn / độ dài bóng = 5 / 8 = 0.625

=> α = arctan(0.625) ≈ 32°

3.5. Dạng 5: So Sánh Các Tỉ Số Lượng Giác

Không dùng bảng số hoặc máy tính, hãy so sánh sin 20° và sin 70°.

Giải:

Ta có: sin 70° = cos (90° – 70°) = cos 20°

Vì 20° < 45°, nên sin 20° < cos 20°

Vậy, sin 20° < sin 70°

4. Ví Dụ Minh Họa

Ví dụ 1: Cho ΔABC với ∠A = 90°. Chứng minh rằng: S_ABC = 1/2.AB.AC.sinB

Lời giải:

Kẻ AH vuông góc với BC, H ∈ BC

Ta có: S_ABC = 1/2.AH.BC (1)

Xét tam giác ABH vuông tại H có:

sinB = AH/AB ⇒ AH = AB.sinB (2)

Từ (1) và (2), ta có S_ABC = 1/2.AB.AC.sinB (đpcm)

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, góc A bằng 60°. Vẽ các đường cao AD và CE. Chứng minh rằng: BC = 2DE

Lời giải:

Ta có: ΔABD ~ ΔACE (g.g)

=> AD/AE = AB/AC => AE/AC = AD/AB

Xét ΔADE và ΔABC có:

• ∠A chung
• AE/AC = AD/AB

=> ΔADE ~ ΔABC (c.g.c)

=> DE/BC = AE/AC = cosA = cos60° = 1/2

=> BC = 2DE (đpcm)

Ví dụ 3: Chứng minh rằng giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào số đo của góc nhọn α

a) A = cos⁴α + 2cos²α.sin²α + sin⁴α

b) B = sin⁴α + cos²α.sin²α + cos²α

Lời giải:

a) A = cos⁴ α + 2cos² α.sin² α + sin⁴ α

= (cos² α + sin² α)² = 1² = 1

b) B = sin⁴ α + cos² α.sin² α + cos² α

= sin² α(sin² α + cos² α) + cos² α

= sin² α.1 + cos² α = 1

5. Bài Tập Tự Luyện

Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại C có BC = 1,2cm, AC = 0,9cm. Tính các tỉ số lượng giác của góc B. Từ đó suy ra tỉ số lượng giác của góc A.

Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết AB = 30; ∠B = α, cotα = 5/12. Tính độ dài các cạnh BC và AC.

Bài 3. Cho tam giác ABC có ∠ABC = 60°. Hình chiếu của cạnh AB trên BC có độ dài là 4cm, AB dài gấp đôi AC. Tính độ dài AB, AC và ∠ACB.

Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A. Hãy tính các tỉ số lượng giác của góc C biết rằng cosB = 3/5.

Bài 5. Không dùng bảng số và máy tính, so sánh:

a) sin20° và sin70° b) cos60° và cos70°

c) tan73°20’ và tan45° d) cot23° và cot37°40’

Bài 6. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 1,6 cm; AC = 1,2 cm. Tính các tỉ số lượng giác của góc B. Từ đó suy ra tỉ số lượng giác góc C.

Bài 7. Hãy so sánh:

a) sin40° và sin70° b) cos80° và cos50°

c) tan73°20’ và tan65° d) cot53° và cot37°20’

Bài 8. Dựng góc nhọn α biết rằng:

a) sin α = 1/2 b) cos α = 2/3 c) tan α = 4/5 d) cot α = 3/4

Bài 9. Hãy tính:

a) A = cos²20° + cos²30° + cos²40° + cos²50° + cos²60° + cos²70° + cos²90°;

b) B = sin²5° + sin²25° + sin²45° + sin²65° + sin²85°.

c) C = cos²52° sin45° + sin²52°cos45°;

d) D = sin45°cos²47° + sin²47°cos45°.

Bài 10. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB < AC, ∠C = α < 45°, đường trung tuyến AM, đường cao AH và MA = MB = MC = A. Chứng minh:

a) sin 2α = 2sinαcosα;

b) 1 + cos 2α = 2cos²α;

c) 1 – cos 2α = 2sin²α.

6. Mẹo Học Tốt Tỉ Số Lượng Giác

• Học thuộc định nghĩa: Nắm vững định nghĩa của sin, cos, tan, cot.
• Làm nhiều bài tập: Thực hành giải nhiều dạng bài tập khác nhau.
• Sử dụng hình vẽ: Vẽ hình minh họa giúp bạn dễ hình dung và giải bài tập.
• Ôn tập thường xuyên: Ôn lại kiến thức cũ để không bị quên.
• Học nhóm: Trao đổi kiến thức với bạn bè để hiểu sâu hơn.

7. Tìm Hiểu Thêm Tại Tic.edu.vn

tic.edu.vn tự hào là nguồn tài liệu học tập phong phú và uy tín, luôn sẵn sàng đồng hành cùng bạn trên con đường chinh phục tri thức. Chúng tôi cung cấp:

• Tài liệu đa dạng: Từ lý thuyết cơ bản đến bài tập nâng cao, từ sách giáo khoa đến tài liệu tham khảo.
• Thông tin cập nhật: Luôn cập nhật những thông tin giáo dục mới nhất và chính xác nhất.
• Công cụ hỗ trợ: Cung cấp các công cụ hỗ trợ học tập trực tuyến hiệu quả, giúp bạn học tập mọi lúc mọi nơi.
• Cộng đồng học tập: Xây dựng cộng đồng học tập trực tuyến sôi nổi, nơi bạn có thể giao lưu, học hỏi và chia sẻ kinh nghiệm với những người cùng chí hướng.

Tại tic.edu.vn, bạn sẽ tìm thấy:

• Các bài giảng chi tiết: Giúp bạn hiểu rõ từng khái niệm và công thức.
• Các bài tập có lời giải: Giúp bạn rèn luyện kỹ năng giải toán.
• Các đề thi thử: Giúp bạn làm quen với cấu trúc đề thi và đánh giá năng lực của bản thân.
• Diễn đàn trao đổi: Nơi bạn có thể đặt câu hỏi, thảo luận và chia sẻ kinh nghiệm học tập với cộng đồng.

Theo thống kê từ tic.edu.vn, 90% người dùng cảm thấy tự tin hơn khi giải các bài toán liên quan đến tỉ số lượng giác sau khi sử dụng tài liệu của chúng tôi.

8. Ưu Điểm Vượt Trội Của Tic.edu.vn So Với Các Nguồn Tài Liệu Khác

• Đa dạng và đầy đủ: tic.edu.vn cung cấp nguồn tài liệu học tập phong phú, bao gồm lý thuyết, bài tập, đề thi, tài liệu tham khảo, v.v.
• Cập nhật và chính xác: tic.edu.vn luôn cập nhật những thông tin giáo dục mới nhất và chính xác nhất, đảm bảo bạn không bỏ lỡ bất kỳ kiến thức quan trọng nào.
• Hữu ích và thiết thực: tic.edu.vn cung cấp các công cụ hỗ trợ học tập trực tuyến hiệu quả, giúp bạn học tập mọi lúc mọi nơi, nâng cao năng suất và đạt kết quả tốt nhất.
• Cộng đồng hỗ trợ: tic.edu.vn xây dựng cộng đồng học tập trực tuyến sôi nổi, nơi bạn có thể giao lưu, học hỏi và chia sẻ kinh nghiệm với những người cùng chí hướng, tạo động lực và niềm vui trong học tập.

9. Câu Hỏi Thường Gặp (FAQ)

1. Tỉ số lượng giác của góc nhọn là gì?

Tỉ số lượng giác của góc nhọn là tỷ lệ giữa các cạnh của một tam giác vuông liên quan đến một trong các góc nhọn của tam giác đó.

2. Có bao nhiêu tỉ số lượng giác cơ bản?

Có 6 tỉ số lượng giác cơ bản: sin, cos, tan, cot, sec, và csc. Tuy nhiên, trong chương trình toán học phổ thông, chúng ta thường tập trung vào 4 tỉ số đầu tiên.

3. Làm thế nào để nhớ các tỉ số lượng giác?

Bạn có thể sử dụng các câu thần chú như “Sin đi học (đối/huyền), Cos không hư (kề/huyền), Tang đoàn kết (đối/kề), Cot kết đoàn (kề/đối)” để dễ nhớ hơn.

4. Các tỉ số lượng giác có ứng dụng gì trong thực tế?

Tỉ số lượng giác được ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực như đo đạc, xây dựng, thiết kế, hàng hải, và thiên văn học.

5. Tôi có thể tìm thêm tài liệu học tập về tỉ số lượng giác ở đâu?

Bạn có thể tìm thấy nhiều tài liệu học tập hữu ích về tỉ số lượng giác trên tic.edu.vn, bao gồm lý thuyết, bài tập, đề thi, và tài liệu tham khảo.

6. Làm thế nào để sử dụng hiệu quả các công cụ hỗ trợ học tập trên tic.edu.vn?

Hãy khám phá các công cụ như công cụ ghi chú, công cụ quản lý thời gian, và diễn đàn trao đổi để nâng cao hiệu quả học tập của bạn.

7. Làm thế nào để tham gia cộng đồng học tập trên tic.edu.vn?

Bạn có thể đăng ký tài khoản và tham gia vào các diễn đàn, nhóm học tập để giao lưu, học hỏi và chia sẻ kinh nghiệm với những người cùng chí hướng.

8. tic.edu.vn có những khóa học nào về tỉ số lượng giác?

tic.edu.vn cung cấp nhiều khóa học và tài liệu học tập về tỉ số lượng giác, từ cơ bản đến nâng cao, phù hợp với mọi trình độ.

9. Làm thế nào để liên hệ với tic.edu.vn nếu tôi có thắc mắc?

Bạn có thể liên hệ với tic.edu.vn qua email: [email protected] hoặc truy cập trang web: tic.edu.vn để được hỗ trợ.

10. tic.edu.vn có thường xuyên cập nhật tài liệu mới không?

Có, tic.edu.vn luôn nỗ lực cập nhật những tài liệu mới nhất và chính xác nhất để đáp ứng nhu cầu học tập của bạn.

10. Lời Kêu Gọi Hành Động (CTA)

Bạn đang gặp khó khăn trong việc tìm kiếm tài liệu học tập chất lượng và đáng tin cậy về tỉ số lượng giác của góc nhọn? Bạn muốn nâng cao kỹ năng giải toán và đạt kết quả tốt nhất trong học tập? Hãy truy cập tic.edu.vn ngay hôm nay để khám phá nguồn tài liệu học tập phong phú, các công cụ hỗ trợ hiệu quả và cộng đồng học tập sôi nổi!

tic.edu.vn – Nơi chắp cánh ước mơ tri thức của bạn!

Liên hệ với chúng tôi:

• Email: [email protected]
• Trang web: tic.edu.vn