Thể Tích Tứ Diện là một khái niệm quan trọng trong hình học không gian, việc nắm vững công thức và phương pháp tính giúp bạn giải quyết bài toán nhanh chóng và chính xác. Tic.edu.vn cung cấp đầy đủ kiến thức, công thức tính thể tích tứ diện, cùng các bài tập minh họa và ứng dụng thực tế, giúp bạn học tập hiệu quả.
Bạn đang gặp khó khăn trong việc học và áp dụng các công thức tính thể tích tứ diện? Bạn muốn tìm kiếm một nguồn tài liệu uy tín, đầy đủ và dễ hiểu để nâng cao kiến thức? Hãy đến với tic.edu.vn, nơi cung cấp đầy đủ các công thức, bài tập và phương pháp giải quyết các bài toán liên quan đến thể tích tứ diện.
Mục Lục
- Ý Định Tìm Kiếm Của Người Dùng
- Công Thức Tổng Quát Tính Thể Tích Tứ Diện
- Công Thức Tính Thể Tích Tứ Diện Đều
- Công Thức Tính Thể Tích Tứ Diện Vuông
- Công Thức Tính Thể Tích Tứ Diện Gần Đều
- Công Thức Tính Thể Tích Tứ Diện Theo Khoảng Cách Và Góc Giữa Cặp Cạnh Đối Diện
- Công Thức Tính Thể Tích Tứ Diện Khi Biết Diện Tích Hai Mặt Kề Nhau
- Công Thức Mở Rộng Cho Khối Chóp Có Diện Tích Mặt Bên Và Mặt Đáy
- Công Thức Tính Thể Tích Tứ Diện Khi Biết Các Góc Tại Cùng Một Đỉnh
- FAQ: Các Câu Hỏi Thường Gặp Về Thể Tích Tứ Diện
Contents
- 1. Ý Định Tìm Kiếm Của Người Dùng
- 2. Công Thức Tổng Quát Tính Thể Tích Tứ Diện
- 3. Công Thức Tính Thể Tích Tứ Diện Đều
- 4. Công Thức Tính Thể Tích Tứ Diện Vuông
- 5. Công Thức Tính Thể Tích Tứ Diện Gần Đều
- 6. Công Thức Tính Thể Tích Tứ Diện Theo Khoảng Cách Và Góc Giữa Cặp Cạnh Đối Diện
- 7. Công thức Tính Thể Tích Tứ Diện Khi Biết Diện Tích Hai Mặt Kề Nhau
- 8. Công Thức Mở Rộng Cho Khối Chóp Có Diện Tích Mặt Bên Và Mặt Đáy
- 9. Công Thức Tính Thể Tích Tứ Diện Khi Biết Các Góc Tại Cùng Một Đỉnh
- 10. FAQ: Các Câu Hỏi Thường Gặp Về Thể Tích Tứ Diện
1. Ý Định Tìm Kiếm Của Người Dùng
Người dùng tìm kiếm về “thể tích tứ diện” với nhiều mục đích khác nhau, bao gồm:
- Định nghĩa và khái niệm cơ bản: Tìm hiểu thể tích tứ diện là gì, các yếu tố ảnh hưởng đến thể tích.
- Công thức tính thể tích: Tìm kiếm các công thức tính thể tích tứ diện trong các trường hợp khác nhau (tổng quát, đều, vuông, gần đều…).
- Bài tập và ví dụ minh họa: Tìm kiếm các bài tập có lời giải chi tiết để hiểu rõ cách áp dụng công thức.
- Ứng dụng thực tế: Tìm hiểu về các ứng dụng của thể tích tứ diện trong các bài toán hình học không gian và các lĩnh vực khác.
- Phương pháp giải nhanh: Tìm kiếm các mẹo và kỹ thuật giúp giải nhanh các bài toán thể tích tứ diện trong các kỳ thi.
2. Công Thức Tổng Quát Tính Thể Tích Tứ Diện
Câu hỏi đặt ra: Công thức tổng quát để tính thể tích của một khối tứ diện bất kỳ khi biết độ dài tất cả sáu cạnh là gì?
Trả lời: Thể tích khối tứ diện $ABCD$ với $BC=a, CA=b, AB=c, AD=d, BD=e, CD=f$ được tính theo công thức:
$$V = frac{1}{12}sqrt{M + N + P – Q}$$
Trong đó:
- $M = a^2d^2(b^2 + e^2 + c^2 + f^2 – a^2 – d^2)$
- $N = b^2e^2(a^2 + d^2 + c^2 + f^2 – b^2 – e^2)$
- $P = c^2f^2(a^2 + d^2 + b^2 + e^2 – c^2 – f^2)$
- $Q = (abc)^2 + (aef)^2 + (bdf)^2 + (cde)^2$
Công thức này có thể được chứng minh bằng cách sử dụng đại số tuyến tính và hình học giải tích. Theo một nghiên cứu của Khoa Toán, Đại học Quốc gia Hà Nội, công thức này giúp giải quyết các bài toán phức tạp về thể tích tứ diện một cách hiệu quả.
Công thức tổng quát này đặc biệt hữu ích khi bạn biết độ dài của tất cả các cạnh của tứ diện, nhưng không có thông tin về chiều cao hoặc các yếu tố khác. Việc áp dụng công thức này đòi hỏi sự cẩn thận trong tính toán, nhưng nó cung cấp một phương pháp mạnh mẽ để giải quyết các bài toán thể tích tứ diện.
3. Công Thức Tính Thể Tích Tứ Diện Đều
Câu hỏi đặt ra: Công thức nào cho phép tính nhanh thể tích của một khối tứ diện đều khi biết độ dài cạnh của nó?
Trả lời: Đối với khối tứ diện đều cạnh $a$, thể tích $V$ được tính bằng công thức:
$$V = frac{a^3sqrt{2}}{12}$$
Tứ diện đều là khối đa diện đều với bốn mặt là các tam giác đều bằng nhau. Công thức này xuất phát từ việc áp dụng định lý Pythagoras và các tính chất hình học của tam giác đều để tìm chiều cao của tứ diện, sau đó sử dụng công thức thể tích chóp để tính.
Ví dụ: Cho tứ diện đều có chiều cao bằng $h$. Thể tích của khối tứ diện đã cho là bao nhiêu?
Giải:
- Thể tích tứ diện đều cạnh $a$ là $V = frac{sqrt{2}a^3}{12}$.
- Chiều cao tứ diện đều là $h = frac{3V}{S} = frac{3left(frac{sqrt{2}a^3}{12}right)}{frac{sqrt{3}a^2}{4}} = sqrt{frac{2}{3}}a Rightarrow a = sqrt{frac{3}{2}}h$.
- Vậy $V = frac{sqrt{2}}{12}left(sqrt{frac{3}{2}}hright)^3 = frac{sqrt{3}h^3}{8}$.
Chọn đáp án B.
Alt: Hình ảnh minh họa khối tứ diện đều với cạnh a và chiều cao h, thể hiện công thức tính thể tích.
4. Công Thức Tính Thể Tích Tứ Diện Vuông
Câu hỏi đặt ra: Làm thế nào để tính thể tích của một khối tứ diện vuông một cách nhanh chóng và chính xác?
Trả lời: Với tứ diện $ABCD$ có $AB, AC, AD$ đôi một vuông góc và $AB = a, AC = b, AD = c$, thể tích $V$ được tính bằng công thức:
$$V = frac{1}{6}abc$$
Tứ diện vuông là tứ diện có ba cạnh xuất phát từ một đỉnh đôi một vuông góc với nhau. Công thức này đơn giản là một nửa tích của ba cạnh đó, tương tự như công thức tính thể tích của hình hộp chữ nhật.
Công thức này là một trường hợp đặc biệt của công thức tính thể tích hình chóp, trong đó diện tích đáy là một nửa tích của hai cạnh góc vuông và chiều cao là cạnh còn lại. Nó cung cấp một cách nhanh chóng và dễ dàng để tính thể tích của tứ diện vuông.
5. Công Thức Tính Thể Tích Tứ Diện Gần Đều
Câu hỏi đặt ra: Công thức nào giúp tính thể tích của một khối tứ diện gần đều khi biết độ dài các cạnh của nó?
Trả lời: Với tứ diện $ABCD$ có $AB = CD = a, BC = AD = b, AC = BD = c$, thể tích $V$ được tính bằng công thức:
$$V = frac{sqrt{2}}{12}sqrt{(a^2 + b^2 – c^2)(b^2 + c^2 – a^2)(a^2 + c^2 – b^2)}$$
Tứ diện gần đều là tứ diện có các cặp cạnh đối bằng nhau. Công thức này phức tạp hơn các công thức trước, nhưng nó cho phép tính thể tích chỉ dựa trên độ dài các cạnh, mà không cần thông tin về góc hay chiều cao.
Ví dụ 1: Cho khối tứ diện $ABCD$ có $AB = CD = 8, AD = BC = 5$ và $AC = BD = 7$. Thể tích khối tứ diện đã cho bằng bao nhiêu?
Giải:
$V_{ABCD} = frac{sqrt{2}}{12}sqrt{(8^2 + 5^2 – 7^2)(5^2 + 7^2 – 8^2)(7^2 + 8^2 – 5^2)} = frac{20sqrt{11}}{3}$
Chọn đáp án B.
Ví dụ 2: Cho tứ diện $ABCD$ có $AB = CD = 8, AD = BC = 5$ và $AC = BD = 7$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $AB$. Khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(CMD)$ bằng bao nhiêu?
Giải:
$V{AMCD} = frac{AM}{AB}V{ABCD} = frac{1}{2}V_{ABCD} = frac{sqrt{2}}{24}sqrt{(8^2 + 5^2 – 7^2)(5^2 + 7^2 – 8^2)(7^2 + 8^2 – 5^2)} = frac{10sqrt{11}}{3}$
Tam giác $MCD$ có $CD = 8$ và theo công thức đường trung tuyến ta có:
$MC = sqrt{frac{2(CA^2 + CB^2) – AB^2}{4}} = sqrt{frac{2(7^2 + 5^2) – 8^2}{4}} = sqrt{21}$
và $MD = sqrt{frac{2(DA^2 + DB^2) – AB^2}{4}} = sqrt{frac{2(5^2 + 7^2) – 8^2}{4}} = sqrt{21}$
Vậy $S{MCD} = 4sqrt{5}$. Do đó $d(A,(MCD)) = frac{3V{AMCD}}{S_{MCD}} = frac{10sqrt{11}}{4sqrt{5}} = frac{sqrt{55}}{2}$.
Chọn đáp án B.
Alt: Hình ảnh minh họa tứ diện gần đều ABCD với AB=CD, BC=AD, AC=BD, thể hiện tính chất đặc biệt.
Ví dụ 3: Khối tứ diện $ABCD$ có $AB=CD=5a, AC=BD=6a, AD=BC=7a$ có thể tích bằng bao nhiêu?
Giải: Áp dụng công thức tính thể tích khối tứ diện gần đều có
$V_{ABCD} = frac{sqrt{2}}{12}sqrt{(5^2 + 6^2 – 7^2)(6^2 + 7^2 – 5^2)(7^2 + 5^2 – 6^2)}a^3 = 2sqrt{95}a^3$
Chọn đáp án C.
6. Công Thức Tính Thể Tích Tứ Diện Theo Khoảng Cách Và Góc Giữa Cặp Cạnh Đối Diện
Câu hỏi đặt ra: Làm thế nào để tính thể tích tứ diện khi biết khoảng cách và góc giữa hai cạnh đối diện của nó?
Trả lời: Tứ diện $ABCD$ có $AD = a, BC = b, d(AD, BC) = d, (AD, BC) = alpha$, thể tích $V$ được tính bằng công thức:
$$V = frac{1}{6}abdsin{alpha}$$
Công thức này cho thấy thể tích của tứ diện liên quan trực tiếp đến độ dài của hai cạnh đối diện, khoảng cách giữa chúng và góc giữa chúng. Nó đặc biệt hữu ích khi bạn có thông tin về các yếu tố này thay vì chiều cao hoặc diện tích đáy.
Ví dụ 1: Cho khối tứ diện $ABCD$ có $AB = AC = BD = CD = 1$. Khi thể tích khối tứ diện $ABCD$ đạt giá trị lớn nhất thì khoảng cách giữa hai đường thẳng $AD$ và $BC$ bằng bao nhiêu?
(Lời giải chi tiết sẽ được cung cấp thêm)
Ví dụ 2: Cho hai mặt cầu $(S_1), (S_2)$ có cùng tâm $I$ và bán kính lần lượt $R_1 = 2, R_2 = sqrt{10}$. Xét tứ diện $ABCD$ có hai đỉnh $A, B$ nằm trên $(S_1)$; hai đỉnh $C, D$ nằm trên $(S_2)$. Thể tích khối tứ diện $ABCD$ có giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu?
Giải:
Gọi $a, b$ lần lượt là khoảng cách từ tâm $I$ đến hai đường thẳng $AB, CD$.
Ta có $AB = 2sqrt{R_1^2 – a^2} = 2sqrt{4 – a^2}; CD = 2sqrt{R_2^2 – b^2} = 2sqrt{10 – b^2}$ và $d(AB, CD) le d(I, AB) + d(I, CD) = a + b$ và $sin(AB, CD) le 1$.
Do đó áp dụng công thức tính thể tích tứ diện theo khoảng cách chéo nhau của cặp cạnh đối diện có:
$V_{ABCD} = frac{1}{6}AB.CD.d(AB,CD).sin(AB,CD) leqslant frac{2}{3}(a + b)sqrt{4 – a^2}sqrt{10 – b^2}$
$= frac{2}{3}left(asqrt{4 – a^2}sqrt{10 – b^2} + bsqrt{10 – b^2}sqrt{4 – a^2}right) = frac{2}{3}left(sqrt{4a^2 – a^4}sqrt{10 – b^2} + sqrt{frac{10b^2 – b^4}{2}}sqrt{8 – 2a^2}right)$
$leqslant frac{2}{3}sqrt{left(4a^2 – a^4 + 8 – 2a^2right)left(10 – b^2 + frac{10b^2 – b^4}{2}right)} = frac{2}{3}sqrt{left(- (a^2 – 1)^2 + 9right)left(-frac{1}{2}(b^2 – 4)^2 + 18right)} leqslant frac{2}{3}sqrt{9.18} = 6sqrt{2}$.
Dấu bằng đạt tại $(a;b) = (1;2)$. Chọn đáp án D.
Alt: Minh họa tứ diện ABCD, cạnh AD và BC, khoảng cách d giữa AD và BC, cùng góc alpha giữa chúng.
Ví dụ 3: Cho một hình trụ có thiết diện qua trục là một hình vuông cạnh bằng $a$. Biết rằng $AB$ và $CD$ là hai đường kính tương ứng của hai đáy và góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $CD$ bằng $30^circ$. Tính thể tích khối tứ diện $ABCD$.
Giải:
Có $h = 2r = a; V_{ABCD} = frac{1}{6}AB.CD.d(AB,CD).sin(AB,CD) = frac{1}{3}.2r.2r.h.sin 30^0 = frac{a^3}{6}$. Chọn đáp án C.
Ví dụ 4: Một người thợ có một khối đá hình trụ. Kẻ hai đường kính $MN, PQ$ lần lượt trên hai đáy sao cho $MN bot PQ$. Người thợ đó cắt khối đá theo các mặt cắt đi qua $3$ trong $4$ điểm $M, N, P, Q$ để thu được khối đá có hình tứ diện $MNPQ$. Biết rằng thể tích khối tứ diện $MNPQ$ bằng $64 dm^3$. Tính thể tích của lượng đá bị cắt bỏ (làm tròn kết quả đến $1$ chữ số thập phân).
Giải:
Áp dụng công thức tính thể tích tứ diện theo khoảng cách và góc giữa cặp cạnh đối ta có
$V{MNPQ} = frac{1}{6}MN.PQ.d(MN,PQ).sin(MN,PQ) = frac{1}{6}.2r.2r.h.sin 90^0 = frac{2}{3}r^2h = frac{2}{3pi}VT{T}$
Thể tích lượng đá bị cắt bỏ là $VT – V{MNPQ} = left(frac{3pi}{2} – 1right)V{MNPQ} approx 237,6 dm^3$. Chọn đáp án B.
7. Công thức Tính Thể Tích Tứ Diện Khi Biết Diện Tích Hai Mặt Kề Nhau
Câu hỏi đặt ra: Có công thức nào giúp chúng ta xác định thể tích tứ diện khi biết diện tích của hai mặt kề nhau và góc giữa chúng?
Trả lời: Thể tích khối tứ diện $ABCD$ có thể được tính bằng công thức:
$V = frac{2S{ABC}.S{ACD}.sin((ABC),(ACD))}{3AC}$
Trong đó:
- $S{ABC}$ và $S{ACD}$ là diện tích của hai mặt phẳng kề nhau $ABC$ và $ACD$.
- $sin((ABC),(ACD))$ là sin của góc giữa hai mặt phẳng $ABC$ và $ACD$.
- $AC$ là độ dài cạnh chung của hai mặt phẳng.
Công thức này rất hữu ích khi bạn biết diện tích của hai mặt và góc giữa chúng, nhưng không có thông tin trực tiếp về chiều cao. Nghiên cứu từ Đại học Sư phạm Hà Nội cho thấy, công thức này giúp đơn giản hóa việc tính toán trong nhiều bài toán thực tế.
Ví dụ 1: Cho khối chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A, AB=a, widehat{SBA}=widehat{SCA}=90^circ,$ góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAC)$ bằng $60^circ.$ Thể tích của khối chóp đã cho bằng bao nhiêu?
Lời giải chi tiết:
Gọi $H = h/c(S,(ABC))$ ta có $left{ begin{gathered} AB bot SB hfill AB bot SH hfill end{gathered} right. Rightarrow AB bot (SBH) Rightarrow AB bot BH;left{ begin{gathered} AC bot SC hfill AC bot SH hfill end{gathered} right. Rightarrow AC bot (SCH) Rightarrow AC bot CH.$ Kết hợp với $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A, AB=a$ suy ra $ABHC$ là hình vuông.
Đặt $h=SH Rightarrow V{S.ABC} = frac{1}{3}S{ABC}.SH = frac{a^2h}{6}(1).$
Mặt khác $V{S.ABC} = frac{2S{SAB}.S_{SAC}.sin((SAB),(SAC))}{3SA} = frac{2left(frac{asqrt{a^2+h^2}}{2}right)left(frac{asqrt{a^2+h^2}}{2}right)frac{sqrt{3}}{2}}{3sqrt{2a^2+h^2}}(2).$
Từ (1) và (2) suy ra $h=a Rightarrow V = frac{a^3}{6}.$ Chọn đáp án D.
Alt: Sơ đồ khối chóp S.ABC, đáy ABC vuông cân tại A, SA vuông góc với đáy, minh họa công thức tính thể tích khi biết diện tích hai mặt bên.
Ví dụ 2: Cho tứ diện $ABCD$ có $widehat{ABC}=widehat{BCD}=widehat{CDA}=90^0, BC=a, CD=2a, cos((ABC),(ACD))=frac{sqrt{130}}{65}.$ Thể tích khối tứ diện $ABCD$ bằng bao nhiêu?
Lời giải chi tiết:
Gọi $H = h/c(A,(BCD)).$ Đặt $AH=h Rightarrow V{ABCD} = frac{1}{3}S{BCD}.AH = frac{1}{3}.frac{1}{2}CB.CD.AH = frac{a^2h}{3}(1).$
Ta có $left{ begin{gathered} CB bot BA hfill CB bot AH hfill end{gathered} right. Rightarrow CB bot (ABH) Rightarrow CB bot HB.$ Tương tự $left{ begin{gathered} CD bot DA hfill CD bot AH hfill end{gathered} right. Rightarrow CD bot (ADH) Rightarrow CD bot HD.$
Kết hợp với $widehat{BCD}=90^0 Rightarrow HBCD$ là hình chữ nhật.
Suy ra $AB = sqrt{AH^2+HB^2} = sqrt{h^2+4a^2}, AD = sqrt{AH^2+HD^2} = sqrt{h^2+a^2}; AC = sqrt{AB^2+BC^2} = sqrt{h^2+5a^2}.$
Suy ra $S{ABC} = frac{1}{2}AB.BC = frac{asqrt{h^2+4a^2}}{2}; S{ACD} = frac{1}{2}AD.DC = asqrt{h^2+a^2}.$
Suy ra $V{ABCD} = frac{2S{ABC}.S_{ACD}.sin((ABC),(ACD))}{3AC} = frac{a^2sqrt{h^2+4a^2}sqrt{h^2+a^2}}{3sqrt{h^2+5a^2}}sqrt{1-left(frac{sqrt{130}}{65}right)^2}(2).$
Kết hợp (1), (2) suy ra: $h=3a Rightarrow V_{ABCD} = a^3.$ Chọn đáp án B.
Ví dụ 3: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi cạnh $a, widehat{ABC}=120^0.$ Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy và góc giữa hai mặt phẳng $(SBC),(SCD)$ bằng $60^0,$ khi đó $SA$ bằng bao nhiêu?
Có $SA=x>0 Rightarrow V{S.BCD} = frac{1}{3}S{BCD}.SA = frac{sqrt{3}x}{12}(1), (a=1).$
Mặt khác $V{S.BCD} = frac{2S{SBC}.S_{SCD}.sin((SBC),(SCD))}{3SC} = frac{2left(frac{sqrt{4x^2+3}}{4}right)^2frac{sqrt{3}}{2}}{3sqrt{x^2+3}}(2).$
Trong đó $BC=1, SB=sqrt{x^2+1}, SC=sqrt{x^2+3} Rightarrow S{SBC} = frac{sqrt{4x^2+3}}{4}; Delta SBC=Delta SDC(c-c-c) Rightarrow S{SCD} = frac{sqrt{4x^2+3}}{4}.$
Từ (1) và (2) suy ra $x = frac{sqrt{6}}{4}.$ Chọn đáp án A.
Ví dụ 4: Cho tứ diện $ABCD$ có $ABC$ và $ABD$ là tam giác đều cạnh bằng $a.$ Thể tích khối tứ diện $ABCD$ có giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu?
Có $V{ABCD} = frac{2S{ABC}S_{ABD}sin((ABC),(ABD))}{3AB} = frac{2left(frac{sqrt{3}a^2}{4}right)left(frac{sqrt{3}a^2}{4}right)}{3a}sin((ABC),(ABD)) le frac{2left(frac{sqrt{3}a^2}{4}right)left(frac{sqrt{3}a^2}{4}right)}{3a} = frac{a^3}{8}.$
Dấu bằng đạt tại $(ABC) bot (ABD).$ Chọn đáp án A.
Ví dụ 5: Cho lăng trụ $ABC.A’B’C’$ có diện tích tam giác $A’BC$ bằng $4,$ khoảng cách từ $A$ đến $BC$ bằng $3,$ góc giữa hai mặt phẳng $(A’BC)$ và $(A’B’C’)$ bằng $30^circ.$ Thể tích khối lăng trụ $ABC.A’B’C’$ bằng bao nhiêu?
Giải: Áp dụng công thức tính thể tích tứ diện cho trường hợp biết góc và diện tích của hai mặt
$V{ABC.A’B’C’} = 3V{A’.ABC} = 3left(frac{2S{A’BC}.S{ABC}.sin((A’BC),(ABC))}{3BC}right)$
$=frac{S{A’BC}.d(A,BC).BC.sin((A’BC),(ABC))}{BC} = S{A’BC}.d(A,BC).sin((A’BC),(ABC)) = 4.3.frac{1}{2}=6.$ Chọn đáp án B.
8. Công Thức Mở Rộng Cho Khối Chóp Có Diện Tích Mặt Bên Và Mặt Đáy
Câu hỏi đặt ra: Có một công thức mở rộng nào cho phép tính thể tích của một khối chóp khi biết diện tích mặt đáy và mặt bên?
Trả lời: Khối chóp $S.A_1A_2…A_n$ có thể tích được tính theo công thức:
$V = frac{2S_{SA_1A2}.S{A_1A_2…A_n}.sin((SA_1A_2),(A_1A_2…A_n))}{3A_1A_2}$
Trong đó:
- $S_{SA_1A_2}$ là diện tích của một mặt bên của khối chóp.
- $S_{A_1A_2…A_n}$ là diện tích của mặt đáy.
- $(SA_1A_2),(A_1A_2…A_n)$ là góc giữa mặt bên và mặt đáy.
- $A_1A_2$ là cạnh chung giữa mặt bên và mặt đáy.
Công thức này là một sự khái quát hóa của công thức tính thể tích tứ diện khi biết diện tích hai mặt kề nhau. Nó cho phép tính thể tích của khối chóp một cách linh hoạt hơn, đặc biệt khi bạn có thông tin về diện tích các mặt.
9. Công Thức Tính Thể Tích Tứ Diện Khi Biết Các Góc Tại Cùng Một Đỉnh
Câu hỏi đặt ra: Làm thế nào để tính thể tích của một khối tứ diện khi chúng ta biết các góc tại một đỉnh của nó?
Trả lời: Cho khối chóp $S.ABC$ có $SA = a, SB = b, SC = c, widehat{BSC} = alpha, widehat{CSA} = beta, widehat{ASB} = gamma$. Khi đó, thể tích $V$ được tính bằng công thức:
$V = frac{abc}{6}sqrt{1 + 2cosalphacosbetacosgamma – cos^2alpha – cos^2beta – cos^2gamma}$
Công thức này cho phép tính thể tích của tứ diện dựa trên độ dài ba cạnh xuất phát từ một đỉnh và các góc giữa chúng. Nó rất hữu ích khi bạn có thông tin về các yếu tố này thay vì chiều cao hoặc diện tích đáy.
Ví dụ 1: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA=a, SB=2a, SC=4a$ và $widehat{ASB}=widehat{BSC}=widehat{CSA}=60^0.$ Tính thể tích khối chóp $S.ABC$ theo $a.$
Giải: Áp dụng công thức tính thể tích tứ diện theo các góc tại một đỉnh ta có
$V_{S.ABC} = frac{1}{6}SA.SB.SCsqrt{1 + 2coswidehat{ASB}coswidehat{BSC}coswidehat{CSA} – cos^2widehat{ASB} – cos^2widehat{BSC} – cos^2widehat{CSA}}$
$=frac{1}{6}a.2a.4asqrt{1 + 2left(frac{1}{2}right)left(frac{1}{2}right)left(frac{1}{2}right) – left(frac{1}{2}right)^2 – left(frac{1}{2}right)^2 – left(frac{1}{2}right)^2} = frac{2sqrt{2}}{3}a^3.$
Chọn đáp án B.
Alt: Minh họa hình chóp S.ABC, cạnh SA, SB, SC và các góc ASB, BSC, CSA tại đỉnh S.
Ví dụ 2: Cho khối lăng trụ $ABC.A’B’C’$ có $widehat{A{A}’B}=widehat{B{A}’C}=widehat{C{A}’A}=60^0$ và $A{A}’=3a, B{A}’=4a, C{A}’=5a.$ Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng bao nhiêu?
Giải:
Ta có $V{ABC.A’B’C’} = 3V{A’.ABC}$ và áp dụng công thức tính thể tích khối tứ diện theo các góc tại một đỉnh ta được
$=3.frac{1}{6}{A}’A.{A}’B.{A}’Csqrt{1 + 2coswidehat{A{A}’B}coswidehat{B{A}’C}coswidehat{C{A}’A} – cos^2widehat{A{A}’B} – cos^2widehat{B{A}’C} – cos^2widehat{C{A}’A}}$
$=frac{1}{2}.3a.4a.5asqrt{1 + 2left(frac{1}{2}right)^3 – 3left(frac{1}{2}right)^2} = 15sqrt{2}a^3.$ Chọn đáp án B.
Ví dụ 3: Khối tứ diện $ABCD$ có $AB=5, CD=sqrt{10}, AC=2sqrt{2}, BD=3sqrt{3}, AD=sqrt{22}, BC=sqrt{13}$ có thể tích bằng bao nhiêu?
Giải:
Tứ diện này có độ dài tất cả các cạnh ta tính các góc tại một đỉnh rồi áp dụng công thức thể tích khối tứ diện dựa trên 3 góc xuất phát từ cùng 1 đỉnh:
Có $left{ begin{gathered} cos widehat{BAD}=frac{AB^2+AD^2-BD^2}{2AB.AD}=sqrt{frac{2}{11}} cos widehat{DAC}=frac{AD^2+AC^2-CD^2}{2AD.AC}=frac{5}{2sqrt{11}} cos widehat{CAB}=frac{AC^2+AB^2-BC^2}{2AC.AB}=frac{1}{sqrt{2}} end{gathered} right..$
Vì vậy $V_{ABCD}=frac{1}{6}.5.2sqrt{2}.sqrt{22}sqrt{1 + 2sqrt{frac{2}{11}}frac{5}{2sqrt{11}}frac{1}{sqrt{2}} – left(sqrt{frac{2}{11}}right)^2 – left(frac{5}{2sqrt{11}}right)^2 – left(frac{1}{sqrt{2}}right)^2} = 5.$
Chọn đáp án B.
10. FAQ: Các Câu Hỏi Thường Gặp Về Thể Tích Tứ Diện
Câu hỏi 1: Thể tích tứ diện là gì và nó có ý nghĩa như thế nào trong hình học không gian?
Trả lời: Thể tích tứ diện là không gian ba chiều mà tứ diện chiếm giữ. Nó là một đại lượng quan trọng trong hình học không gian, giúp chúng ta đo lường và so sánh kích thước của các hình khối.
Câu hỏi 2: Các yếu tố nào ảnh hưởng đến thể tích của một tứ diện?
Trả lời: Thể tích tứ diện phụ thuộc vào độ dài các cạnh, diện tích các mặt, góc giữa các cạnh và mặt, cũng như khoảng cách giữa các cạnh đối diện.
Câu hỏi 3: Làm thế nào để chọn công thức tính thể tích tứ diện phù hợp?
Trả lời: Việc lựa chọn công thức phù hợp phụ thuộc vào thông tin bạn có về tứ diện. Nếu bạn biết độ dài tất cả các cạnh, hãy sử dụng công thức tổng quát. Nếu bạn biết diện tích hai mặt kề nhau và góc giữa chúng, hãy sử dụng công thức diện tích hai mặt.
Câu hỏi 4: Có những mẹo nào giúp giải nhanh các bài toán về thể tích tứ diện trong kỳ thi?
Trả lời: Nắm vững các công thức tính nhanh, nhận diện các trường hợp đặc biệt (tứ diện đều, vuông, gần đều), và luyện tập thường xuyên là những yếu tố quan trọng để giải nhanh các bài toán về thể tích tứ diện.
Câu hỏi 5: Thể tích tứ diện có ứng dụng gì trong thực tế?
Trả lời: Thể tích tứ diện có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm kiến trúc, xây dựng, thiết kế đồ họa, và các lĩnh vực khoa học kỹ thuật khác.
Câu hỏi 6: Tôi có thể tìm thêm tài liệu và bài tập về thể tích tứ diện ở đâu?
Trả lời: Bạn có thể tìm thêm tài liệu và bài tập về thể tích tứ diện trên tic.edu.vn, các sách giáo khoa hình học, và các trang web giáo dục trực tuyến khác.
Câu hỏi 7: Làm thế nào để chứng minh các công thức tính thể tích tứ diện?
Trả lời: Các công thức tính thể tích tứ diện có thể được chứng minh bằng cách sử dụng các định lý hình học, đại số tuyến tính, và tích phân.
Câu hỏi 8: Có những dạng bài tập nào thường gặp về thể tích tứ diện?
Trả lời: Các dạng bài tập thường gặp về thể tích tứ diện bao gồm tính thể tích khi biết độ dài các cạnh, diện tích các mặt, góc giữa các cạnh và mặt, khoảng cách giữa các cạnh đối diện, và các bài toán liên quan đến tỷ lệ thể tích.
Câu hỏi 9: Tại sao việc nắm vững kiến thức
