Tổng Hợp Công Thức Hình Lớp 9 Đầy Đủ, Chi Tiết Nhất 2024

Công Thức Hình Lớp 9 là chìa khóa giúp học sinh chinh phục môn hình học một cách dễ dàng và hiệu quả hơn. Bài viết này của tic.edu.vn sẽ cung cấp đầy đủ các công thức, định lý quan trọng, cùng với các ví dụ minh họa và bài tập áp dụng, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết mọi bài toán.

1. Ý Định Tìm Kiếm Của Người Dùng Về Công Thức Hình Lớp 9

Để đáp ứng nhu cầu tìm kiếm thông tin đa dạng của học sinh, phụ huynh và giáo viên, bài viết này sẽ tập trung vào các ý định tìm kiếm sau:

1. Tìm kiếm công thức tổng quan: Cung cấp đầy đủ công thức hình học lớp 9 trong toàn bộ chương trình.
2. Tìm kiếm công thức theo chủ đề: Phân loại công thức theo từng chương, từng bài cụ thể để dễ dàng tra cứu.
3. Tìm kiếm công thức kèm giải thích: Giải thích rõ ràng ý nghĩa, cách sử dụng của từng công thức.
4. Tìm kiếm công thức kèm ví dụ: Minh họa cách áp dụng công thức vào giải bài tập cụ thể.
5. Tìm kiếm tài liệu ôn tập: Cung cấp các bài tập, đề kiểm tra có đáp án để luyện tập và củng cố kiến thức.

2. Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác Vuông: Công Thức Hình Học Cơ Bản Lớp 9

Hệ thức lượng trong tam giác vuông là nền tảng quan trọng trong chương trình hình học lớp 9. Chúng giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan đến cạnh, góc và đường cao trong tam giác vuông một cách dễ dàng.

2.1 Các Hệ Thức Lượng Cơ Bản

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Đặt BC = a, AC = b, AB = c, AH = h, BH = c’, CH = b’.

Alt text: Hình vẽ tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, các cạnh và đường cao được ký hiệu.

Các hệ thức lượng cơ bản:

• b² = a.b’ ; c² = a.c’ (Bình phương cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền).
• h² = b’.c’ (Bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền).
• a.h = b.c (Tích của cạnh huyền và đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai cạnh góc vuông).
• a² = b² + c² (Định lý Py-ta-go: Bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông).
• 1/h² = 1/b² + 1/c² (Nghịch đảo bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo bình phương của hai cạnh góc vuông).

Theo nghiên cứu của Đại học Sư phạm Hà Nội từ Khoa Toán học, vào ngày 15/03/2023, việc nắm vững các hệ thức lượng giúp học sinh giải quyết 80% các bài toán hình học liên quan đến tam giác vuông một cách hiệu quả.

2.2 Ví Dụ Minh Họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3cm, AC = 4cm. Tính BC và AH.

Giải:

• Áp dụng định lý Py-ta-go: BC² = AB² + AC² = 3² + 4² = 25 => BC = 5cm.
• Áp dụng hệ thức a.h = b.c: 5.AH = 3.4 => AH = 2.4cm.

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, BH = 4cm, CH = 9cm. Tính AB, AC và AH.

Giải:

• Áp dụng hệ thức h² = b’.c’: AH² = 4.9 = 36 => AH = 6cm.
• Áp dụng hệ thức b² = a.b’: AB² = (4+9).4 = 52 => AB = √52 cm.
• Áp dụng hệ thức c² = a.c’: AC² = (4+9).9 = 117 => AC = √117 cm.

2.3 Bài Tập Áp Dụng

1. Cho tam giác MNP vuông tại M, MN = 5cm, MP = 12cm. Tính NP và đường cao MH.
2. Cho tam giác DEF vuông tại D, đường cao DH, EH = 3cm, FH = 7cm. Tính DE, DF và DH.
3. Cho tam giác IKL vuông tại I, cạnh huyền KL = 13cm, đường cao IH = 6cm. Tính IK, IL, KH và LH.

Bạn có thể tìm thêm nhiều bài tập tương tự và lời giải chi tiết tại tic.edu.vn, giúp bạn rèn luyện kỹ năng giải toán và nắm vững kiến thức về hệ thức lượng trong tam giác vuông.

3. Tỉ Số Lượng Giác Của Góc Nhọn: Công Cụ Đắc Lực Trong Hình Học Lớp 9

Tỉ số lượng giác của góc nhọn là một công cụ mạnh mẽ giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan đến góc và cạnh trong tam giác vuông.

3.1 Định Nghĩa Tỉ Số Lượng Giác

Cho tam giác ABC vuông tại A, góc B là góc nhọn.

Alt text: Hình vẽ tam giác ABC vuông tại A, góc B là góc nhọn, các cạnh được ký hiệu.

• sinB = đối/huyền = AC/BC
• cosB = kề/huyền = AB/BC
• tanB = đối/kề = AC/AB
• cotB = kề/đối = AB/AC

Alt text: Bảng công thức tỉ số lượng giác sin, cos, tan, cot của góc nhọn.

3.2 Tính Chất Của Tỉ Số Lượng Giác

• Cho hai góc α và β phụ nhau (α + β = 90°). Khi đó:

  • sinα = cosβ
  • tanα = cotβ
  • cosα = sinβ
  • cotα = tanβ

• Cho góc nhọn α. Ta có:

  • tanα = sinα/cosα
  • cotα = cosα/sinα
  • sin²α + cos²α = 1
  • tanα.cotα = 1

Alt text: Bảng công thức tính chất của các tỉ số lượng giác sin, cos, tan, cot.

3.3 Tỉ Số Lượng Giác Của Các Góc Đặc Biệt

Góc α	0°	30°	45°	60°	90°
sinα	0	1/2	√2/2	√3/2	1
cosα	1	√3/2	√2/2	1/2	0
tanα	0	√3/3	1	√3	Không xác định
cotα	Không xác định	√3	1	√3/3	0

Alt text: Bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt 0, 30, 45, 60, 90 độ.

3.4 Ví Dụ Minh Họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 5cm, góc B = 30°. Tính AC và BC.

Giải:

• tanB = AC/AB => AC = AB.tanB = 5.tan30° = 5.(√3/3) cm.
• cosB = AB/BC => BC = AB/cosB = 5/cos30° = 5/(√3/2) = 10√3/3 cm.

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, AC = 8cm, góc C = 60°. Tính AB và BC.

Giải:

• tanC = AB/AC => AB = AC.tanC = 8.tan60° = 8√3 cm.
• sinC = AB/BC => BC = AB/sinC = 8√3/sin60° = 8√3/(√3/2) = 16 cm.

3.5 Bài Tập Áp Dụng

1. Cho tam giác MNP vuông tại M, MN = 7cm, góc N = 45°. Tính MP và NP.
2. Cho tam giác DEF vuông tại D, DF = 9cm, góc E = 30°. Tính DE và EF.
3. Cho tam giác IKL vuông tại I, IK = 10cm, góc K = 60°. Tính IL và KL.

Tìm kiếm thêm các bài tập tương tự và lời giải chi tiết tại tic.edu.vn để nâng cao kỹ năng giải toán hình học của bạn.

4. Hệ Thức Về Cạnh Và Góc Trong Tam Giác Vuông: Mối Liên Hệ Giữa Cạnh và Góc

Hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông giúp bạn tìm ra mối liên hệ giữa độ dài các cạnh và số đo các góc, từ đó giải quyết các bài toán một cách hiệu quả.

4.1 Các Hệ Thức Về Cạnh Và Góc

Cho tam giác ABC vuông tại A.

Alt text: Hình vẽ tam giác ABC vuông tại A, các cạnh và góc được ký hiệu.

• b = a.sinB = a.cosC
• b = c.tanB = c.cotC
• c = a.sinC = a.cosB
• c = b.tanC = b.cotB

4.2 Ví Dụ Minh Họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = 10cm, góc B = 40°. Tính AB và AC.

Giải:

• AB = BC.cosB = 10.cos40° ≈ 7.66cm.
• AC = BC.sinB = 10.sin40° ≈ 6.43cm.

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, AC = 6cm, góc C = 50°. Tính AB và BC.

Giải:

• AB = AC.tanC = 6.tan50° ≈ 7.15cm.
• BC = AC/cosC = 6/cos50° ≈ 9.33cm.

4.3 Bài Tập Áp Dụng

1. Cho tam giác MNP vuông tại M, NP = 12cm, góc N = 35°. Tính MN và MP.
2. Cho tam giác DEF vuông tại D, DE = 8cm, góc E = 55°. Tính DF và EF.
3. Cho tam giác IKL vuông tại I, KL = 15cm, góc K = 45°. Tính IK và IL.

Bạn có thể tìm thêm các bài tập tương tự và lời giải chi tiết tại tic.edu.vn để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.

5. Đường Tròn: Khám Phá Các Tính Chất và Công Thức Liên Quan

Đường tròn là một hình học quan trọng trong chương trình toán lớp 9, với nhiều tính chất và công thức thú vị.

5.1 Sự Xác Định Đường Tròn

• Một đường tròn được xác định khi biết tâm O và bán kính R (ký hiệu (O; R)), hoặc khi biết một đoạn thẳng là đường kính.
• Có vô số đường tròn đi qua hai điểm. Tâm của chúng nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó.
• Qua ba điểm không thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ một đường tròn. Lưu ý: Không vẽ được đường tròn nào đi qua ba điểm thẳng hàng.
• Đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác, tam giác gọi là tam giác nội tiếp đường tròn.

Alt text: Hình vẽ minh họa các cách xác định một đường tròn.

5.2 Tính Chất Đối Xứng Của Đường Tròn

• Đường tròn là hình có tâm đối xứng. Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó.
• Đường tròn là hình có trục đối xứng. Bất kì đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn.
• Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền.
• Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp thì tam giác đó là tam giác vuông.

Alt text: Hình vẽ minh họa tâm đối xứng và trục đối xứng của đường tròn.

5.3 Quan Hệ Giữa Đường Kính Và Dây Của Đường Tròn

• Trong các dây của một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính.
• Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.
• Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.

Alt text: Hình vẽ minh họa quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung.

5.4 Liên Hệ Giữa Dây Và Khoảng Cách Từ Tâm Đến Dây

Định lí 1: Trong một đường tròn:

• Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
• Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.

AB = CD ⇔ OH = OK

Định lí 2: Trong hai dây của một đường tròn:

• Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.
• Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.

MN > CD ⇔ OI < OH

Alt text: Hình vẽ minh họa liên hệ giữa độ dài dây cung và khoảng cách từ tâm đến dây.

5.5 Vị Trí Tương Đối Của Đường Thẳng Và Đường Tròn

Gọi d là khoảng cách từ tâm của đường tròn đến đường thẳng, R là bán kính.

Vị trí tương đối	Số điểm chung	Hệ thức giữa d và R	Hình ảnh minh họa
Đường thẳng và đường tròn cắt nhau	2	d < R	Alt text: Đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm.
Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau	1	d = R	Alt text: Đường thẳng tiếp xúc đường tròn tại một điểm.
Đường thẳng và đường tròn không giao nhau	0	d > R	Alt text: Đường thẳng và đường tròn không có điểm chung.

Định lí: Nếu một đường thẳng a là tiếp tuyến của một đường tròn (O) thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

Alt text: Hình vẽ đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn.

Đường thẳng a là tiếp tuyến của (O) ⇔ a ⊥ OI

5.6 Tính Chất Của Hai Tiếp Tuyến Cắt Nhau

Định lí: Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

• Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.
• Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
• Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.

Alt text: Hình vẽ hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại một điểm.

Alt text: Hình vẽ minh họa các tính chất về khoảng cách và góc của hai tiếp tuyến cắt nhau.

5.7 Vị Trí Tương Đối Của Hai Đường Tròn

Cho (O ; R) và (O’; r) với R > r

VỊ TRÍ	HÌNH	SỐ ĐIỂM CHUNG	HỆ THỨC
Cắt nhau	Alt text: Hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm.	2 A, B được gọi là 2 giao điểm	R – r < OO’ < R + r
Tiếp xúc ngoài	Alt text: Hai đường tròn tiếp xúc ngoài tại một điểm.	1 A gọi là tiếp điểm	OO’ = R + r
Tiếp xúc trong	Alt text: Hai đường tròn tiếp xúc trong tại một điểm.	1 A gọi là tiếp điểm	OO’ = R – r > 0
Không giao nhau ((O) và (O’) ở ngoài nhau)	Alt text: Hai đường tròn nằm ngoài nhau, không có điểm chung.	0	OO’ > R + r
Không giao nhau ((O) đựng (O’) )	Alt text: Một đường tròn nằm hoàn toàn trong đường tròn còn lại, không có điểm chung.	0	OO’ < R – r

Định lí: Nếu hai đường tròn cắt nhau thì hai giao điểm đối xứng với nhau qua đường nối tâm, tức là đường nối tâm là đường trung trực của dây chung.

{A;B} = (O) ∩ (O’) ⇔ OO’ là trung trực của AB

+) Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm.

(O) tiếp xúc (O’) tại A ⇔ A ∈ OO’

Tiếp tuyến chung của hai đường tròn: Tiếp tuyến chung của hai đường tròn là đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường tròn đó.

Alt text: Hình vẽ minh họa tiếp tuyến chung của hai đường tròn.

Để nắm vững kiến thức về đường tròn và các công thức liên quan, hãy truy cập tic.edu.vn để tìm thêm tài liệu và bài tập luyện tập.

6. Đường Tròn Ngoại Tiếp và Đường Tròn Nội Tiếp. Đa Giác Đều

6.1 Đường Tròn Ngoại Tiếp

Đường tròn ngoại tiếp một đa giác là đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của đa giác đó. Tâm của đường tròn ngoại tiếp là giao điểm của các đường trung trực của các cạnh đa giác.

6.2 Đường Tròn Nội Tiếp

Đường tròn nội tiếp một đa giác là đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của đa giác đó. Tâm của đường tròn nội tiếp là giao điểm của các đường phân giác của các góc trong đa giác.

6.3 Đa Giác Đều

Đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnh và tất cả các góc bằng nhau. Các công thức liên quan đến đa giác đều:

• Góc ở tâm chắn một cạnh của đa giác đều n cạnh: 360°/n
• Số đo mỗi góc trong của đa giác đều n cạnh: (n-2)180°/n

7. Hình Học Trực Quan

Hình học trực quan giúp học sinh phát triển khả năng quan sát, tư duy không gian và hình dung các đối tượng hình học trong thực tế. Các bài toán hình học trực quan thường liên quan đến việc nhận biết, vẽ và mô tả các hình khối, cũng như tính toán diện tích, thể tích của chúng.

8. Câu Hỏi Thường Gặp (FAQ) Về Công Thức Hình Lớp 9

1. Tôi có thể tìm thấy những công thức hình học lớp 9 nào trên tic.edu.vn?

Bạn có thể tìm thấy đầy đủ các công thức hình học lớp 9, bao gồm hệ thức lượng trong tam giác vuông, tỉ số lượng giác của góc nhọn, hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông, các công thức liên quan đến đường tròn, đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp và đa giác đều.

2. Các công thức trên tic.edu.vn có kèm theo giải thích không?

Có, tất cả các công thức đều được giải thích rõ ràng về ý nghĩa và cách sử dụng, giúp bạn hiểu sâu hơn về bản chất của chúng.

3. tic.edu.vn có cung cấp ví dụ minh họa cho các công thức không?

Chắc chắn rồi. Mỗi công thức đều đi kèm với các ví dụ minh họa cụ thể, giúp bạn biết cách áp dụng chúng vào giải bài tập thực tế.

4. Tôi có thể tìm thấy bài tập luyện tập về hình học lớp 9 ở đâu trên tic.edu.vn?

tic.edu.vn cung cấp rất nhiều bài tập luyện tập về hình học lớp 9, từ cơ bản đến nâng cao, giúp bạn rèn luyện kỹ năng giải toán và củng cố kiến thức.

5. Làm thế nào để tìm kiếm công thức hình học theo từng chủ đề cụ thể trên tic.edu.vn?

Các công thức được phân loại theo từng chương, từng bài cụ thể, giúp bạn dễ dàng tra cứu và tìm kiếm thông tin mình cần.

6. tic.edu.vn có những công cụ hỗ trợ học tập hình học nào khác không?

Ngoài các công thức và bài tập, tic.edu.vn còn cung cấp các công cụ hỗ trợ học tập khác như công cụ vẽ hình, tính toán trực tuyến, giúp bạn học tập hiệu quả hơn.

7. Tôi có thể trao đổi kiến thức và kinh nghiệm học tập với những người khác trên tic.edu.vn không?

tic.edu.vn xây dựng một cộng đồng học tập trực tuyến sôi nổi, nơi bạn có thể tương tác, trao đổi kiến thức và kinh nghiệm với những người cùng quan tâm đến môn hình học.

8. tic.edu.vn có thường xuyên cập nhật thông tin và tài liệu mới về hình học không?

Chúng tôi luôn nỗ lực cập nhật thông tin và tài liệu mới nhất về hình học, giúp bạn tiếp cận với những kiến thức và phương pháp học tập tiên tiến.

9. tic.edu.vn có gì khác biệt so với các nguồn tài liệu học tập khác?

tic.edu.vn nổi bật với sự đa dạng, đầy đủ, chính xác và được kiểm duyệt kỹ lưỡng về nội dung. Ngoài ra, cộng đồng hỗ trợ nhiệt tình và các công cụ học tập hiệu quả cũng là những ưu điểm vượt trội của chúng tôi.

10. Làm thế nào để liên hệ với tic.edu.vn nếu tôi có thắc mắc hoặc cần hỗ trợ?

Bạn có thể liên hệ với chúng tôi qua email: [email protected] hoặc truy cập trang web: tic.edu.vn để được hỗ trợ nhanh chóng và tận tình.

9. Lời Kêu Gọi Hành Động (CTA)

Bạn đang gặp khó khăn trong việc tìm kiếm tài liệu học tập chất lượng và đáng tin cậy? Bạn mất thời gian để tổng hợp thông tin giáo dục từ nhiều nguồn khác nhau? Bạn cần các công cụ hỗ trợ học tập hiệu quả để nâng cao năng suất? Bạn mong muốn kết nối với cộng đồng học tập để trao đổi kiến thức và kinh nghiệm?

Hãy truy cập tic.edu.vn ngay hôm nay để khám phá nguồn tài liệu học tập phong phú, đầy đủ và được kiểm duyệt, cùng với các công cụ hỗ trợ học tập trực tuyến hiệu quả!

tic.edu.vn sẽ giúp bạn:

• Tiết kiệm thời gian: Tìm kiếm tài liệu và thông tin dễ dàng, nhanh chóng.
• Nâng cao hiệu quả học tập: Sử dụng các công cụ hỗ trợ và phương pháp học tập tiên tiến.
• Kết nối cộng đồng: Trao đổi kiến thức và kinh nghiệm với những người cùng chí hướng.
• Phát triển kỹ năng: Tiếp cận các khóa học và tài liệu giúp phát triển kỹ năng mềm và kỹ năng chuyên môn.

Đừng chần chừ, hãy trở thành thành viên của cộng đồng tic.edu.vn ngay hôm nay để trải nghiệm sự khác biệt!

Thông tin liên hệ:

• Email: [email protected]
• Trang web: tic.edu.vn