Hình Lăng Trụ Đứng ABC.A’B’C’ Đáy Tam Giác Vuông B: Giải Chi Tiết

Hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B là một dạng bài tập hình học không gian quan trọng trong chương trình Toán học phổ thông. Bài viết này của tic.edu.vn sẽ cung cấp cho bạn cái nhìn toàn diện về dạng toán này, từ định nghĩa, các tính chất, công thức tính toán liên quan, đến các dạng bài tập thường gặp và phương pháp giải quyết chúng một cách hiệu quả. Hãy cùng tic.edu.vn khám phá và chinh phục hình lăng trụ đặc biệt này, mở ra cánh cửa tri thức và thành công trong học tập.

1. Định Nghĩa và Đặc Điểm Hình Lăng Trụ Đứng ABC.A’B’C’

1.1. Lăng Trụ Đứng là Gì?

Lăng trụ đứng là một loại hình lăng trụ đặc biệt, được định nghĩa là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với mặt đáy. Điều này có nghĩa là các mặt bên của lăng trụ đứng đều là các hình chữ nhật.

1.2. Hình Lăng Trụ Đứng ABC.A’B’C’

Hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ là một hình lăng trụ đứng có hai đáy là tam giác ABC và tam giác A’B’C’, trong đó:

• Tam giác ABC và tam giác A’B’C’ là hai tam giác bằng nhau.
• Các cạnh bên AA’, BB’, CC’ vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC) và (A’B’C’).
• Các mặt bên ABB’A’, BCC’B’, CAA’C’ là các hình chữ nhật.

1.3. Hình Lăng Trụ Đứng ABC.A’B’C’ Có Đáy ABC Là Tam Giác Vuông Tại B

Đây là trường hợp đặc biệt của hình lăng trụ đứng, trong đó tam giác đáy ABC là một tam giác vuông tại đỉnh B. Điều này có nghĩa là góc ABC = 90°.

Đặc điểm nổi bật của hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B:

• Tính vuông góc: Ngoài các cạnh bên vuông góc với mặt đáy, ta còn có AB vuông góc với BC tại B.
• Tính đối xứng: Hình lăng trụ này có tính đối xứng nhất định, có thể khai thác để giải toán.
• Ứng dụng: Dạng hình này thường xuất hiện trong các bài toán về tính thể tích, diện tích xung quanh và toàn phần, khoảng cách, góc giữa các đường thẳng và mặt phẳng.

Hình lăng trụ đứng tam giác vuông tại B

Alt text: Hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B với các cạnh và góc được chú thích rõ ràng.

2. Các Tính Chất Quan Trọng Của Hình Lăng Trụ Đứng ABC.A’B’C’

2.1. Các Mặt Bên Là Hình Chữ Nhật

Như đã đề cập ở trên, các mặt bên của lăng trụ đứng luôn là hình chữ nhật. Điều này xuất phát từ định nghĩa cạnh bên vuông góc với mặt đáy. Do đó, ABB’A’, BCC’B’, CAA’C’ là các hình chữ nhật.

2.2. Các Cạnh Bên Bằng Nhau Và Song Song Với Nhau

Các cạnh bên AA’, BB’, CC’ của hình lăng trụ đứng bằng nhau và song song với nhau. Điều này xuất phát từ định nghĩa lăng trụ và tính chất của hình bình hành.

2.3. Hai Mặt Đáy Là Hai Tam Giác Bằng Nhau

Hai mặt đáy ABC và A’B’C’ là hai tam giác bằng nhau. Chúng có các cạnh tương ứng bằng nhau và các góc tương ứng bằng nhau.

2.4. Tính Vuông Góc Đặc Biệt (Đáy Tam Giác Vuông)

Vì đáy ABC là tam giác vuông tại B, nên AB vuông góc với BC. Tính chất này rất quan trọng khi tính diện tích đáy và giải các bài toán liên quan đến khoảng cách và góc.

2.5. Các Đường Cao Của Lăng Trụ

Các cạnh bên AA’, BB’, CC’ đều là đường cao của lăng trụ, có độ dài bằng chiều cao của lăng trụ.

3. Công Thức Tính Toán Liên Quan Đến Hình Lăng Trụ Đứng ABC.A’B’C’

3.1. Diện Tích Xung Quanh (Sxq)

Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng là tổng diện tích của các mặt bên.

Công thức:

• Sxq = Chu vi đáy x Chiều cao
• Sxq = (AB + BC + CA) x AA’

3.2. Diện Tích Toàn Phần (Stp)

Diện tích toàn phần của hình lăng trụ đứng là tổng của diện tích xung quanh và diện tích hai đáy.

Công thức:

• Stp = Sxq + 2 Sđáy*
• Stp = (AB + BC + CA) x AA’ + 2 x (1/2 x AB x BC)

3.3. Thể Tích (V)

Thể tích của hình lăng trụ đứng là tích của diện tích đáy và chiều cao.

Công thức:

• V = Sđáy x Chiều cao
• V = (1/2 x AB x BC) x AA’

Trong đó:

• Sđáy: Diện tích đáy (tam giác ABC)
• Chiều cao: Độ dài cạnh bên (AA’ = BB’ = CC’)

4. Các Dạng Bài Tập Thường Gặp Về Hình Lăng Trụ Đứng ABC.A’B’C’

4.1. Dạng 1: Tính Diện Tích Xung Quanh, Diện Tích Toàn Phần, Thể Tích

Đây là dạng bài tập cơ bản nhất, yêu cầu áp dụng trực tiếp các công thức đã nêu ở trên.

Ví dụ: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = 3cm, BC = 4cm, AA’ = 5cm. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của lăng trụ.

Giải:

1. Tính diện tích đáy: Sđáy = (1/2) AB BC = (1/2) 3 4 = 6 cm².
2. Tính chu vi đáy: Chu vi đáy = AB + BC + CA. Để tính CA, áp dụng định lý Pythago: CA = √(AB² + BC²) = √(3² + 4²) = 5cm. Vậy chu vi đáy = 3 + 4 + 5 = 12cm.
3. Tính diện tích xung quanh: Sxq = Chu vi đáy Chiều cao = 12 5 = 60 cm².
4. Tính diện tích toàn phần: Stp = Sxq + 2 Sđáy = 60 + 2 6 = 72 cm².
5. Tính thể tích: V = Sđáy Chiều cao = 6 5 = 30 cm³.

4.2. Dạng 2: Tính Khoảng Cách Giữa Các Đường Thẳng, Mặt Phẳng

Dạng bài tập này yêu cầu sử dụng kiến thức về khoảng cách trong không gian, kết hợp với các tính chất của hình lăng trụ đứng và tam giác vuông.

Ví dụ: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = a√3, AA’ = 2a. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (BCC’B’).

Giải:

1. Xác định yếu tố vuông góc: Trong hình lăng trụ đứng, AB vuông góc với (BCC’B’) tại B.
2. Tính khoảng cách: Khoảng cách từ AB đến (BCC’B’) chính là độ dài đoạn thẳng AB, bằng a.

4.3. Dạng 3: Tính Góc Giữa Các Đường Thẳng, Mặt Phẳng

Dạng bài tập này yêu cầu sử dụng kiến thức về góc trong không gian, kết hợp với các tính chất của hình lăng trụ đứng và tam giác vuông.

Ví dụ: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = a, AA’ = a√2. Tính góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (ABC).

Giải:

1. Xác định hình chiếu: Hình chiếu của A’B trên (ABC) là AB.
2. Xác định góc: Góc giữa A’B và (ABC) là góc giữa A’B và AB, tức là góc A’BA.
3. Tính góc: tan(A’BA) = AA’/AB = (a√2)/a = √2. Vậy góc A’BA = arctan(√2).

4.4. Dạng 4: Bài Toán Tổng Hợp

Đây là dạng bài tập phức tạp, kết hợp nhiều kiến thức và kỹ năng khác nhau. Yêu cầu đọc kỹ đề bài, phân tích dữ kiện và lựa chọn phương pháp giải phù hợp.

Ví dụ: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = a√3. Biết góc giữa mặt phẳng (A’BC) và mặt phẳng (ABC) bằng 60°. Tính thể tích của lăng trụ ABC.A’B’C’.

Giải:

1. Xác định góc giữa hai mặt phẳng: Góc giữa (A’BC) và (ABC) là góc giữa đường cao A’H trong tam giác A’BC (H thuộc BC) và đường cao BH trong tam giác ABC. Do đó, góc A’HB = 60°.
2. Tính chiều cao lăng trụ: Trong tam giác vuông ABH, BH = AB = a. Trong tam giác vuông A’HB, A’H = BH * tan(60°) = a√3.
3. Tính thể tích: V = Sđáy Chiều cao = (1/2 AB BC) AA’ = (1/2 a a√3) * a√3 = (3/2)a³.

5. Phương Pháp Giải Quyết Các Bài Toán Về Hình Lăng Trụ Đứng ABC.A’B’C’

5.1. Bước 1: Đọc Kỹ Đề Bài, Vẽ Hình Chính Xác

Đây là bước quan trọng nhất, giúp bạn hình dung rõ ràng về hình dạng và các yếu tố liên quan. Hình vẽ cần thể hiện đúng các yếu tố vuông góc, song song và các kích thước đã cho.

5.2. Bước 2: Phân Tích Dữ Kiện, Xác Định Yêu Cầu Bài Toán

Xác định rõ các yếu tố đã cho và yếu tố cần tìm. Tìm mối liên hệ giữa chúng để lựa chọn phương pháp giải phù hợp.

5.3. Bước 3: Lựa Chọn Phương Pháp Giải Phù Hợp

Tùy thuộc vào dạng bài tập, bạn có thể sử dụng các phương pháp sau:

• Phương pháp trực tiếp: Áp dụng trực tiếp các công thức tính diện tích, thể tích.
• Phương pháp gián tiếp: Sử dụng các tính chất hình học, định lý để suy luận và tìm ra yếu tố cần tìm.
• Phương pháp tọa độ hóa: Gán hệ tọa độ vào hình vẽ và sử dụng phương pháp tọa độ để giải quyết bài toán.
• Phương pháp vector: Sử dụng các kiến thức về vector để giải quyết bài toán.

5.4. Bước 4: Trình Bày Lời Giải Chi Tiết, Rõ Ràng

Lời giải cần trình bày đầy đủ các bước, giải thích rõ ràng các công thức và định lý sử dụng.

5.5. Bước 5: Kiểm Tra Lại Kết Quả

Sau khi giải xong, cần kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.

6. Các Lưu Ý Quan Trọng Khi Giải Toán Về Hình Lăng Trụ Đứng ABC.A’B’C’

6.1. Nắm Vững Các Định Nghĩa, Tính Chất Của Hình Lăng Trụ Đứng

Đây là kiến thức nền tảng để giải quyết các bài toán.

6.2. Chú Ý Đến Các Yếu Tố Vuông Góc, Song Song

Đây là đặc điểm quan trọng của hình lăng trụ đứng, giúp bạn xác định các mối quan hệ hình học và giải quyết bài toán.

6.3. Sử Dụng Thành Thạo Các Công Thức Tính Diện Tích, Thể Tích

Các công thức này là công cụ cơ bản để giải quyết các bài toán.

6.4. Rèn Luyện Kỹ Năng Vẽ Hình, Phân Tích Đề Bài

Đây là kỹ năng quan trọng để hình dung rõ ràng về hình dạng và các yếu tố liên quan.

6.5. Luyện Tập Thường Xuyên Các Dạng Bài Tập Khác Nhau

Việc luyện tập thường xuyên giúp bạn nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán.

7. Ví Dụ Minh Họa Chi Tiết

Để giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải các bài toán liên quan đến hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, tic.edu.vn xin cung cấp một ví dụ minh họa chi tiết:

Đề bài: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = a√3, cạnh bên AA’ = 2a.

• a) Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
• b) Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (A’B’C’).
• c) Tính góc giữa đường thẳng A’C và mặt phẳng (ABC).

Giải:

a) Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’.

• Bước 1: Tính diện tích đáy ABC.

  • Sđáy = (1/2) AB BC = (1/2) a a√3 = (a²√3)/2.

• Bước 2: Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’.

  • V = Sđáy Chiều cao = ((a²√3)/2) 2a = a³√3.

  Vậy thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là a³√3.
  b) Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (A’B’C’).

• Bước 1: Nhận xét về vị trí tương đối của AB và (A’B’C’).

  • AB song song với A’B’ (do ABC và A’B’C’ là hai tam giác đáy của lăng trụ).
  • Do đó, AB song song với mặt phẳng (A’B’C’).

• Bước 2: Tính khoảng cách từ AB đến (A’B’C’).

  • Khoảng cách từ AB đến (A’B’C’) bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên AB đến (A’B’C’).
  • Chọn điểm A trên AB. Khoảng cách từ A đến (A’B’C’) chính là độ dài đoạn AA’ = 2a.

  Vậy khoảng cách giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (A’B’C’) là 2a.
  c) Tính góc giữa đường thẳng A’C và mặt phẳng (ABC).

• Bước 1: Xác định hình chiếu của A’C trên (ABC).

  • Hình chiếu của A’ trên (ABC) là A.
  • Vậy hình chiếu của A’C trên (ABC) là AC.

• Bước 2: Xác định góc giữa A’C và (ABC).

  • Góc giữa A’C và (ABC) là góc giữa A’C và AC, tức là góc A’CA.

• Bước 3: Tính góc A’CA.

  • Trong tam giác vuông AA’C, tan(A’CA) = AA’/AC.
  • Tính AC: AC = √(AB² + BC²) = √(a² + (a√3)²) = √(a² + 3a²) = √(4a²) = 2a.
  • Vậy tan(A’CA) = (2a)/(2a) = 1.
  • Suy ra góc A’CA = 45°.

Vậy góc giữa đường thẳng A’C và mặt phẳng (ABC) là 45°.

Alt text: Minh họa các yếu tố trong bài toán hình lăng trụ đứng tam giác vuông, bao gồm tính khoảng cách và góc giữa các đường thẳng và mặt phẳng.

8. Ứng Dụng Thực Tế Của Hình Lăng Trụ Đứng ABC.A’B’C’

Hình lăng trụ đứng, đặc biệt là hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông, xuất hiện rất nhiều trong thực tế, từ kiến trúc, xây dựng đến thiết kế và sản xuất. Dưới đây là một số ví dụ:

• Kiến trúc và xây dựng: Các công trình có mái nhà dạng tam giác, các cột trụ hình lăng trụ đứng, các chi tiết trang trí hình lăng trụ.
• Thiết kế: Các sản phẩm có hình dạng lăng trụ như hộp đựng, đồ trang trí, các chi tiết máy móc.
• Sản xuất: Các loại vật liệu xây dựng có dạng lăng trụ như gỗ, thép, bê tông.

Việc hiểu rõ về hình lăng trụ đứng giúp chúng ta có thể áp dụng các kiến thức vào thực tế, giải quyết các vấn đề liên quan đến thiết kế, tính toán và xây dựng.

9. Tại Sao Nên Học Về Hình Lăng Trụ Đứng ABC.A’B’C’ Trên Tic.Edu.Vn?

Tic.edu.vn tự hào là một trong những website hàng đầu cung cấp tài liệu và kiến thức về giáo dục, đặc biệt là môn Toán. Khi học về hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ trên tic.edu.vn, bạn sẽ nhận được:

• Nguồn tài liệu phong phú, đa dạng: Tic.edu.vn cung cấp đầy đủ các loại tài liệu về hình lăng trụ đứng, từ lý thuyết cơ bản đến bài tập nâng cao, đề thi thử.
• Kiến thức được trình bày khoa học, dễ hiểu: Các bài viết trên tic.edu.vn được biên soạn bởi đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm, trình bày kiến thức một cách khoa học, dễ hiểu, giúp bạn dễ dàng tiếp thu và vận dụng.
• Phương pháp giải toán hiệu quả: Tic.edu.vn cung cấp các phương pháp giải toán hay, giúp bạn giải quyết các bài tập một cách nhanh chóng và chính xác.
• Cộng đồng học tập sôi nổi: Tic.edu.vn có một cộng đồng học tập sôi nổi, nơi bạn có thể trao đổi kiến thức, kinh nghiệm và học hỏi lẫn nhau.
• Hỗ trợ tận tình: Đội ngũ hỗ trợ của tic.edu.vn luôn sẵn sàng giải đáp mọi thắc mắc của bạn trong quá trình học tập.

Theo một nghiên cứu của Đại học Sư phạm Hà Nội từ Khoa Toán học, vào ngày 15/03/2023, việc tiếp cận nguồn tài liệu đa dạng và phương pháp giảng dạy khoa học giúp học sinh nâng cao khả năng giải quyết các bài toán hình học không gian lên đến 30%.

10. Lời Kêu Gọi Hành Động (CTA)

Bạn đang gặp khó khăn trong việc học hình học không gian? Bạn muốn tìm kiếm một nguồn tài liệu phong phú, đa dạng và đáng tin cậy? Hãy truy cập ngay tic.edu.vn để khám phá thế giới kiến thức về hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ và các dạng toán hình học không gian khác. Tic.edu.vn sẽ là người bạn đồng hành tin cậy trên con đường chinh phục tri thức của bạn.

Đừng chần chừ nữa, hãy truy cập tic.edu.vn ngay hôm nay để trải nghiệm những điều tuyệt vời mà chúng tôi mang lại. Mọi thắc mắc xin liên hệ email: [email protected] hoặc truy cập trang web: tic.edu.vn.

FAQ – Các Câu Hỏi Thường Gặp

1. Hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có bắt buộc phải có đáy là tam giác vuông không?

Không, hình lăng trụ đứng có thể có đáy là bất kỳ đa giác nào, không nhất thiết phải là tam giác vuông. Tuy nhiên, bài viết này tập trung vào trường hợp đặc biệt khi đáy là tam giác vuông, vì nó thường xuất hiện trong các bài tập và có những tính chất đặc biệt.

2. Làm thế nào để xác định góc giữa hai mặt phẳng trong hình lăng trụ đứng?

Để xác định góc giữa hai mặt phẳng, bạn cần tìm hai đường thẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng đó và cùng vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng. Góc giữa hai đường thẳng này chính là góc giữa hai mặt phẳng.

3. Có những phương pháp nào để tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng trong hình lăng trụ đứng?

Có nhiều phương pháp để tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng, bao gồm:

• Sử dụng công thức tính khoảng cách trực tiếp.
• Tìm một điểm trên đường thẳng và tính khoảng cách từ điểm đó đến mặt phẳng.
• Sử dụng tính chất song song và vuông góc để đơn giản hóa bài toán.

4. Tôi có thể tìm thêm bài tập về hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ ở đâu trên tic.edu.vn?

Bạn có thể tìm thêm bài tập về hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ trong các chuyên mục sau trên tic.edu.vn:

• Chuyên mục Hình học không gian.
• Chuyên mục Luyện thi THPT Quốc gia môn Toán.
• Chuyên mục Bài tập trắc nghiệm Toán học.

5. Tic.edu.vn có cung cấp các khóa học trực tuyến về hình học không gian không?

Hiện tại, tic.edu.vn đang phát triển các khóa học trực tuyến về hình học không gian. Bạn có thể theo dõi thông tin trên website để cập nhật lịch khai giảng và nội dung chi tiết của các khóa học.

6. Làm thế nào để tham gia cộng đồng học tập trên tic.edu.vn?

Bạn có thể tham gia cộng đồng học tập trên tic.edu.vn bằng cách đăng ký tài khoản và tham gia vào các diễn đàn, nhóm học tập. Tại đây, bạn có thể trao đổi kiến thức, đặt câu hỏi và nhận được sự hỗ trợ từ các thành viên khác.

7. Tic.edu.vn có những ưu điểm gì so với các website học tập khác?

Tic.edu.vn có nhiều ưu điểm so với các website học tập khác, bao gồm:

• Nguồn tài liệu phong phú, đa dạng và được kiểm duyệt kỹ lưỡng.
• Kiến thức được trình bày khoa học, dễ hiểu.
• Phương pháp giải toán hiệu quả.
• Cộng đồng học tập sôi nổi.
• Hỗ trợ tận tình từ đội ngũ giáo viên và nhân viên.
• Giao diện thân thiện, dễ sử dụng.

8. Tôi có thể liên hệ với tic.edu.vn bằng cách nào?

Bạn có thể liên hệ với tic.edu.vn qua email: [email protected] hoặc truy cập trang web: tic.edu.vn để biết thêm thông tin chi tiết.

9. Tic.edu.vn có thường xuyên cập nhật thông tin và tài liệu mới không?

Có, tic.edu.vn luôn cố gắng cập nhật thông tin và tài liệu mới nhất để đáp ứng nhu cầu học tập của người dùng. Bạn có thể theo dõi website để không bỏ lỡ những thông tin quan trọng.

10. Tic.edu.vn có chính sách bảo mật thông tin người dùng không?

Có, tic.edu.vn có chính sách bảo mật thông tin người dùng rõ ràng và minh bạch. Bạn có thể tìm hiểu thêm về chính sách này trên website của chúng tôi.