Các Dạng Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Hiệu Quả

Các Dạng Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình là một kỹ năng quan trọng trong chương trình toán học THCS và THPT. Để giúp các bạn học sinh nắm vững phương pháp này, tic.edu.vn xin giới thiệu chi tiết các dạng toán thường gặp, kèm theo ví dụ minh họa và bài tập vận dụng, giúp các bạn tự tin chinh phục kỳ thi vào lớp 10 và các kỳ thi khác.

1. Tổng Quan Về Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình

Giải bài toán bằng cách lập phương trình là một kỹ năng không thể thiếu trong chương trình toán học, đặc biệt quan trọng đối với học sinh chuẩn bị cho kỳ thi vào lớp 10. Phương pháp này không chỉ giúp giải quyết các bài toán khô khan mà còn rèn luyện tư duy logic, khả năng phân tích và ứng dụng kiến thức vào thực tế. Tic.edu.vn sẽ cùng bạn khám phá sâu hơn về phương pháp này, từ đó xây dựng nền tảng vững chắc cho hành trình chinh phục môn Toán.

1.1. Ý Nghĩa Của Việc Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình

Giải bài toán bằng cách lập phương trình mang lại nhiều lợi ích thiết thực:

• Phát triển tư duy logic: Quá trình phân tích bài toán, thiết lập mối quan hệ giữa các yếu tố và biểu diễn chúng qua phương trình đòi hỏi tư duy logic chặt chẽ.
• Rèn luyện kỹ năng giải quyết vấn đề: Học sinh học cách tiếp cận vấn đề một cách có hệ thống, từ xác định yếu tố đã biết, yếu tố cần tìm đến việc tìm ra phương pháp giải quyết phù hợp.
• Ứng dụng kiến thức vào thực tế: Nhiều bài toán thực tế có thể được mô hình hóa bằng phương trình, giúp học sinh thấy được tính ứng dụng của toán học trong cuộc sống.
• Nâng cao khả năng tính toán: Việc giải phương trình giúp học sinh rèn luyện kỹ năng tính toán, biến đổi đại số, và làm quen với các công thức toán học.
• Chuẩn bị tốt cho các kỳ thi: Kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình là một trong những yếu tố quan trọng để đạt điểm cao trong các kỳ thi, đặc biệt là kỳ thi vào lớp 10.

1.2. Các Bước Cơ Bản Để Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình

Để giải một bài toán bằng cách lập phương trình hiệu quả, bạn có thể tuân theo các bước sau:

1. Đọc kỹ đề bài và phân tích:

   • Xác định rõ yêu cầu của bài toán (cái gì cần tìm).
   • Liệt kê các dữ kiện đã cho và các mối quan hệ giữa chúng.
   • Xác định ẩn số cần tìm và đặt điều kiện phù hợp cho ẩn số.

2. Lập phương trình:

   • Sử dụng ẩn số để biểu diễn các đại lượng chưa biết trong bài toán.
   • Dựa vào mối quan hệ giữa các đại lượng để thiết lập phương trình hoặc hệ phương trình.

3. Giải phương trình:

   • Sử dụng các quy tắc và phép biến đổi đại số để giải phương trình hoặc hệ phương trình.
   • Tìm ra giá trị của ẩn số.

4. Kiểm tra và kết luận:

   • Đối chiếu giá trị tìm được với điều kiện của ẩn số.
   • Kiểm tra lại xem giá trị tìm được có thỏa mãn yêu cầu của bài toán hay không.
   • Đưa ra kết luận cuối cùng.

1.3. Các Dạng Toán Thường Gặp Khi Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình

Trong chương trình toán học, có rất nhiều dạng toán có thể giải bằng cách lập phương trình. Dưới đây là một số dạng toán thường gặp:

• Toán chuyển động: Liên quan đến vận tốc, thời gian, quãng đường của các đối tượng chuyển động.
• Toán làm chung, làm riêng: Liên quan đến năng suất làm việc của các đối tượng khi làm chung hoặc làm riêng một công việc.
• Toán tìm số: Liên quan đến việc tìm các số thỏa mãn các điều kiện cho trước.
• Toán về vòi nước: Liên quan đến việc chảy chung, chảy riêng của các vòi nước vào một bể.
• Toán phần trăm: Liên quan đến các bài toán về tăng, giảm phần trăm.
• Toán hình học: Liên quan đến tính toán các yếu tố của hình học như diện tích, chu vi, thể tích.
• Toán có nội dung vật lý, hóa học: Liên quan đến các công thức và định luật vật lý, hóa học.

tic.edu.vn sẽ đi sâu vào từng dạng toán này trong các phần tiếp theo, cung cấp cho bạn các phương pháp giải quyết hiệu quả và ví dụ minh họa chi tiết.

2. Các Dạng Bài Toán Cụ Thể Và Phương Pháp Giải

2.1. Dạng 1: Toán Chuyển Động

2.1.1. Phương Pháp Chung

• Bước 1: Lập phương trình (hoặc hệ phương trình)
  • Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số (ví dụ: vận tốc > 0, thời gian > 0).
  • Biểu diễn các đại lượng chưa biết (quãng đường, vận tốc, thời gian) qua ẩn số và các đại lượng đã biết.
  • Lập phương trình (hoặc hệ phương trình) dựa trên mối quan hệ giữa các đại lượng trong bài toán.
• Bước 2: Giải phương trình (hoặc hệ phương trình)
  • Sử dụng các phương pháp đại số để tìm ra nghiệm của phương trình (hoặc hệ phương trình).
• Bước 3: Kiểm tra và kết luận
  • Đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện của ẩn số.
  • Kiểm tra lại xem nghiệm có thỏa mãn yêu cầu của bài toán hay không.
  • Đưa ra kết luận cuối cùng.

2.1.2. Các Công Thức Cần Nhớ

• Quãng đường = Vận tốc × Thời gian (s = v.t)
• Vận tốc xuôi dòng = Vận tốc khi nước yên lặng + Vận tốc dòng nước
• Vận tốc ngược dòng = Vận tốc khi nước yên lặng – Vận tốc dòng nước

2.1.3. Ví Dụ Minh Họa

Ví dụ 1: Một ô tô đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến chậm mất 2 giờ. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm hơn 1 giờ. Tính quãng đường AB và thời gian dự định lúc đầu.

Giải:

• Gọi t là thời gian dự định lúc đầu (giờ, t > 1).
• Quãng đường AB khi xe chạy với vận tốc 35 km/h: 35(t + 2) (km)
• Quãng đường AB khi xe chạy với vận tốc 50 km/h: 50(t – 1) (km)

Vì quãng đường AB không đổi, ta có phương trình:

35(t + 2) = 50(t - 1)

Giải phương trình, ta được t = 8 (giờ) (thỏa mãn điều kiện).

Vậy thời gian dự định ban đầu là 8 giờ và quãng đường AB là 35(8 + 2) = 350 km.

Ví dụ 2: Lúc 6 giờ một ô tô chạy từ A về B. Sau đó nửa giờ, một xe máy chạy từ B về A. Ô tô gặp xe máy lúc 8 giờ. Biết vận tốc ô tô lớn hơn vận tốc xe máy là 10 km/h và khoảng cách AB = 195 km. Tính vận tốc mỗi xe.

Giải:

• Gọi vận tốc ô tô là x (km/h, x > 0).
• Vận tốc xe máy là y (km/h, y > 0).
• Ta có phương trình: x – y = 10.
• Thời gian ô tô đã đi cho đến lúc gặp xe máy là: 8 – 6 = 2 giờ.
• Thời gian xe máy đã đi cho đến lúc gặp ô tô là: 2 – 0.5 = 1.5 giờ.
• Quãng đường ô tô chạy: 2x (km).
• Quãng đường xe máy chạy: 1.5y (km).
• Ta có phương trình: 2x + 1.5y = 195.

Do đó, ta có hệ phương trình:

x - y = 10
2x + 1.5y = 195

Giải hệ phương trình, ta được x = 60; y = 50 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy vận tốc ô tô là 60 km/h, vận tốc xe máy là 50 km/h.

2.1.4. Mẹo Nhỏ Khi Giải Toán Chuyển Động

• Lập bảng biểu diễn các đại lượng (vận tốc, thời gian, quãng đường) để dễ dàng theo dõi và thiết lập phương trình.
• Chú ý đến đơn vị đo của các đại lượng và đảm bảo chúng thống nhất.
• Vẽ sơ đồ minh họa chuyển động để dễ hình dung bài toán.

2.2. Dạng 2: Toán Công Việc (Làm Chung, Làm Riêng, Năng Suất…)

2.2.1. Phương Pháp Chung

• Bước 1: Lập phương trình (hoặc hệ phương trình)
  • Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số (ví dụ: thời gian > 0, năng suất > 0).
  • Biểu diễn các đại lượng chưa biết (năng suất, thời gian, khối lượng công việc) qua ẩn số và các đại lượng đã biết.
  • Lập phương trình (hoặc hệ phương trình) dựa trên mối quan hệ giữa các đại lượng trong bài toán.
• Bước 2: Giải phương trình (hoặc hệ phương trình)
  • Sử dụng các phương pháp đại số để tìm ra nghiệm của phương trình (hoặc hệ phương trình).
• Bước 3: Kiểm tra và kết luận
  • Đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện của ẩn số.
  • Kiểm tra lại xem nghiệm có thỏa mãn yêu cầu của bài toán hay không.
  • Đưa ra kết luận cuối cùng.

2.2.2. Các Công Thức Cần Nhớ

• Khối lượng công việc = Năng suất × Thời gian
• Nếu một người (hoặc một đội) làm xong công việc trong x ngày (hoặc giờ), thì trong 1 ngày (hoặc giờ) người (hoặc đội) đó làm được 1/x công việc.

2.2.3. Ví Dụ Minh Họa

Ví dụ 1: Một hợp tác xã dự kiến thu hoạch 200 ha lúa trong một thời gian đã định. Song thực tế mỗi ngày thu hoạch nhanh hơn so với kế hoạch là 5 ha, nên đã hoàn thành công việc nhanh hơn dự kiến 2 ngày. Hỏi theo dự kiến mỗi ngày thu hoạch bao nhiêu ha? (mỗi ngày thu hoạch được số lúa là như nhau)

Giải:

• Gọi t là số ngày hợp tác xã dự kiến thu hoạch xong 200 ha lúa (t > 2).
• Theo dự kiến, mỗi ngày hợp tác xã thu hoạch được 200/t (ha).
• Thực tế, mỗi ngày hợp tác xã thu hoạch được 200/t + 5 (ha).
• Số ngày hoàn thành công việc thực tế: 200/(200/t + 5) (ngày).
• Ta có phương trình: t – 200/(200/t + 5) = 2.

Giải phương trình, ta được t = 10 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy theo dự kiến, mỗi ngày hợp tác xã thu hoạch được 200/10 = 20 (ha).

Ví dụ 2: Hai người cùng làm chung một công việc trong 24/5 giờ thì xong. Nếu mỗi người làm một mình thì người thứ nhất hoàn thành xong công việc ít hơn người thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu mỗi người làm một mình thì làm trong bao lâu để xong công việc (biết rằng mỗi giờ người thứ nhất làm được khối lượng công việc là như nhau và mỗi giờ người thứ hai làm được khối lượng công việc là như nhau).

Giải:

• Gọi thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc là x (giờ), x > 0.
• Thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc là x + 2 (giờ).
• Trong 1 giờ người thứ nhất làm được 1/x công việc.
• Trong 1 giờ người thứ hai làm được 1/(x + 2) công việc.
• Trong 1 giờ cả hai người làm được 1/x + 1/(x + 2) công việc.

Ta có phương trình:

(1/x + 1/(x + 2)) * (24/5) = 1

Giải phương trình, ta được x = 4 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy người thứ nhất làm một mình xong công việc trong 4 giờ, người thứ hai làm một mình xong công việc trong 6 giờ.

2.2.4. Mẹo Nhỏ Khi Giải Toán Công Việc

• Quy ước toàn bộ công việc là 1 đơn vị.
• Tính năng suất làm việc của từng đối tượng (phần công việc làm được trong một đơn vị thời gian).
• Chú ý đến mối quan hệ giữa thời gian, năng suất và khối lượng công việc.

2.3. Dạng 3: Các Bài Toán Tìm Số

2.3.1. Phương Pháp Chung

• Bước 1: Lập phương trình (hoặc hệ phương trình)
  • Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số (ví dụ: số tự nhiên, số nguyên, số dương…).
  • Biểu diễn các đại lượng chưa biết (các số cần tìm) qua ẩn số và các đại lượng đã biết.
  • Lập phương trình (hoặc hệ phương trình) dựa trên mối quan hệ giữa các đại lượng trong bài toán.
• Bước 2: Giải phương trình (hoặc hệ phương trình)
  • Sử dụng các phương pháp đại số để tìm ra nghiệm của phương trình (hoặc hệ phương trình).
• Bước 3: Kiểm tra và kết luận
  • Đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện của ẩn số.
  • Kiểm tra lại xem nghiệm có thỏa mãn yêu cầu của bài toán hay không.
  • Đưa ra kết luận cuối cùng.

2.3.2. Các Lưu Ý Quan Trọng

• Số có hai chữ số: Ký hiệu là ab, giá trị là 10a + b (điều kiện: 1 ≤ a ≤ 9 và 0 ≤ b ≤ 9, a, b ∈ N).
• Số có ba chữ số: Ký hiệu là abc, giá trị là 100a + 10b + c (điều kiện: 1 ≤ a ≤ 9 và 0 ≤ b, c ≤ 9, a, b, c ∈ N).
• Tổng hai số x, y: x + y.
• Tổng bình phương hai số x, y: x² + y².
• Bình phương của tổng hai số x, y: (x + y)².
• Tổng nghịch đảo hai số x, y: 1/x + 1/y.

2.3.3. Ví Dụ Minh Họa

Ví dụ 1: Tìm tất cả các số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng tổng các chữ số của nó bằng 5 và tổng các bình phương hai chữ số của nó bằng 13.

Giải:

• Gọi chữ số hàng chục của số tự nhiên có hai chữ số là x (0 < x < 5, x ∈ N).
• Chữ số hàng đơn vị là 5 – x.

Vì tổng các bình phương hai chữ số của nó bằng 13 nên ta có phương trình:

x² + (5 – x)² = 13

Giải phương trình, ta được x = 2 hoặc x = 3.

• Với x = 2, chữ số hàng chục bằng 2 và chữ số hàng đơn vị bằng 3. Số đó là 23.
• Với x = 3, chữ số hàng chục bằng 3 và chữ số hàng đơn vị bằng 2. Số đó là 32.

Vậy có 2 số tự nhiên thỏa mãn đề bài là 23 và 32.

Ví dụ 2: Cho số tự nhiên có hai chữ số, tổng của chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị bằng 14. Nếu đổi chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị cho nhau thì được số mới lớn hơn số đã cho 18 đơn vị. Tìm số đã cho.

Giải:

• Gọi chữ số hàng chục của số cần tìm là x (điều kiện: x ∈ N, 0 < x < 14).
• Gọi chữ số hàng đơn vị của số cần tìm là y (điều kiện: y ∈ N, 0 ≤ y ≤ 9).

Tổng chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị bằng 14 nên có phương trình: x + y = 14.

Số đó là: 10x + y. Nếu đổi chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị cho nhau thì số mới là: 10y + x.

Theo bài ra, số mới lớn hơn số đã cho 18 đơn vị nên có phương trình:

10y + x – (10x + y) = 18

Từ đó ta có hệ phương trình:

x + y = 14
10y + x – (10x + y) = 18

Giải hệ phương trình trên ta được x = 6, y = 8 (thoả mãn điều kiện).

Số cần tìm là 68.

2.3.4. Mẹo Nhỏ Khi Giải Toán Tìm Số

• Hiểu rõ cấu tạo của số (hàng chục, hàng đơn vị, hàng trăm…).
• Biểu diễn các số theo cấu tạo của chúng để thiết lập phương trình.
• Chú ý đến điều kiện của các chữ số (ví dụ: chữ số hàng chục khác 0).

2.4. Dạng 4: Các Bài Toán Liên Quan Đến Chảy Chung, Chảy Riêng Của Vòi Nước

2.4.1. Phương Pháp Chung

• Bước 1: Lập phương trình (hoặc hệ phương trình)
  • Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số (ví dụ: thời gian > 0).
  • Biểu diễn các đại lượng chưa biết (thời gian chảy riêng, phần bể chảy được trong một đơn vị thời gian) qua ẩn số và các đại lượng đã biết.
  • Lập phương trình (hoặc hệ phương trình) dựa trên mối quan hệ giữa các đại lượng trong bài toán.
• Bước 2: Giải phương trình (hoặc hệ phương trình)
  • Sử dụng các phương pháp đại số để tìm ra nghiệm của phương trình (hoặc hệ phương trình).
• Bước 3: Kiểm tra và kết luận
  • Đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện của ẩn số.
  • Kiểm tra lại xem nghiệm có thỏa mãn yêu cầu của bài toán hay không.
  • Đưa ra kết luận cuối cùng.

2.4.2. Các Lưu Ý Quan Trọng

• Lượng nước chảy vào bể tỉ lệ thuận với thời gian.
• Nếu vòi nào chảy riêng một mình đầy bể trong x (giờ) thì trong 1 giờ vòi đó chảy được 1/x (bể).

2.4.3. Ví Dụ Minh Họa

Ví dụ 1: Hai vòi nước cùng chảy đầy một bể không có nước trong 3 giờ 45 phút. Nếu chảy riêng rẽ, mỗi vòi phải chảy trong bao lâu mới đầy bể? Biết rằng vòi chảy sau lâu hơn vòi trước 4 giờ.

Giải:

• Gọi thời gian vòi đầu chảy một mình đầy bể là x (x > 0, x tính bằng giờ).
• Gọi thời gian vòi sau chảy một mình đầy bể là y (y > 4, y tính bằng giờ).
• 1 giờ vòi đầu chảy được 1/x (bể).
• 1 giờ vòi sau chảy được 1/y (bể).
• 1 giờ hai vòi chảy được 1/x + 1/y (bể) (1).

Hai vòi cùng chảy thì đầy bể trong 3 giờ 45 phút = 15/4 giờ.

Vậy 1 giờ cả hai vòi chảy được 4/15 (bể) (2).

Từ (1) và (2) ta có phương trình:

1/x + 1/y = 4/15

Mặt khác, ta biết nếu chảy một mình thì vòi sau chảy lâu hơn vòi trước 4 giờ, tức là y – x = 4.

Vậy ta có hệ phương trình:

1/x + 1/y = 4/15
y - x = 4

Giải hệ phương trình trên, ta được x = 6, y = 10 (thoả mãn đk của ẩn).

Vậy vòi đầu chảy một mình đầy bể trong 6 giờ, vòi sau chảy một mình đầy bể trong 10 giờ.

Ví dụ 2: Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không có nước thì trong 5 giờ sẽ đầy bể. Nếu vòi thứ nhất chảy trong 3 giờ và vòi thứ 2 chảy trong 4 giờ thì được 2/3 bể nước. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì trong bao lâu mới đầy bể.

Giải:

• Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là x (giờ), thời gian vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là y (giờ). (Điều kiện: x, y > 5)
• Trong 1 giờ vòi thứ nhất chảy được 1/x bể; vòi thứ hai chảy được 1/y bể.
• Trong 1 giờ cả hai vòi chảy được 1/x + 1/y bể.

Vì hai vòi nước cùng chảy vào bể không có nước thì trong 5 giờ sẽ đầy bể nên ta có phương trình:

(1/x + 1/y) * 5 = 1

Nếu vòi thứ nhất chảy trong 3 giờ và vòi thứ 2 chảy trong 4 giờ thì được 2/3 bể nên ta có phương trình:

3/x + 4/y = 2/3

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

(1/x + 1/y) * 5 = 1
3/x + 4/y = 2/3

Giải hệ phương trình trên ta được x = 7,5; y = 15 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là 7,5 giờ; thời gian vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là 15 giờ.

2.4.4. Mẹo Nhỏ Khi Giải Toán Vòi Nước

• Quy ước dung tích của bể là 1 đơn vị.
• Tính phần bể mà mỗi vòi chảy được trong một đơn vị thời gian.
• Chú ý đến mối quan hệ giữa thời gian, tốc độ chảy và dung tích bể.

2.5. Dạng 5: Các Bài Toán Liên Quan Đến Tỉ Số Phần Trăm

2.5.1. Phương Pháp Chung

• Bước 1: Lập phương trình (hoặc hệ phương trình)
  • Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số (ví dụ: số lượng sản phẩm > 0).
  • Biểu diễn các đại lượng chưa biết (số lượng, tỉ lệ phần trăm) qua ẩn số và các đại lượng đã biết.
  • Lập phương trình (hoặc hệ phương trình) dựa trên mối quan hệ giữa các đại lượng trong bài toán.
• Bước 2: Giải phương trình (hoặc hệ phương trình)
  • Sử dụng các phương pháp đại số để tìm ra nghiệm của phương trình (hoặc hệ phương trình).
• Bước 3: Kiểm tra và kết luận
  • Đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện của ẩn số.
  • Kiểm tra lại xem nghiệm có thỏa mãn yêu cầu của bài toán hay không.
  • Đưa ra kết luận cuối cùng.

2.5.2. Các Lưu Ý Quan Trọng

• Tăng x%: Giá trị mới = Giá trị ban đầu * (1 + x/100)
• Giảm x%: Giá trị mới = Giá trị ban đầu * (1 – x/100)

2.5.3. Ví Dụ Minh Họa

Ví dụ: Trong tháng giêng, hai tổ sản xuất được 720 chi tiết máy. Trong tháng hai, tổ I vượt mức 15%, tổ II vượt mức 12% nên sản xuất được 819 chi tiết máy. Tính xem trong tháng giêng mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy?

Giải:

• Gọi x là số chi tiết máy tổ I làm được trong tháng giêng (x > 0, x < 720).
• Gọi y là số chi tiết máy tổ II làm được trong tháng giêng (y > 0, y < 720).

Trong tháng giêng, hai tổ sản xuất được 720 chi tiết máy nên ta có phương trình: x + y = 720 (1).

Trong tháng hai, tổ I vượt mức 15% nên sản xuất được 1,15x (chi tiết).

Trong tháng hai, tổ II vượt mức 12% nên sản xuất được 1,12y (chi tiết).

Vì tháng hai cả hai tổ sản xuất được 819 chi tiết nên ta có phương trình: 1,15x + 1,12y = 819 (2).

Từ (1) và (2) ta có hệ:

x + y = 720
1,15x + 1,12y = 819

Giải hệ, ta được x = 420, y = 300 (thỏa mãn).

Vậy tháng giêng tổ I sản xuất được 420 chi tiết, tổ II sản xuất được 300 chi tiết.

2.5.4. Mẹo Nhỏ Khi Giải Toán Phần Trăm

• Xác định rõ giá trị ban đầu và giá trị sau khi tăng/giảm.
• Sử dụng công thức tăng/giảm phần trăm để thiết lập phương trình.
• Chú ý đến đơn vị phần trăm và chuyển đổi chúng thành số thập phân khi tính toán.

2.6. Dạng 6: Các Bài Toán Liên Quan Đến Lý – Hóa

2.6.1. Phương Pháp Chung

• Bước 1: Lập phương trình (hoặc hệ phương trình)
  • Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số (ví dụ: khối lượng > 0, nhiệt độ > 0).
  • Biểu diễn các đại lượng chưa biết (khối lượng, nhiệt độ, nồng độ) qua ẩn số và các đại lượng đã biết.
  • Lập phương trình (hoặc hệ phương trình) dựa trên mối quan hệ giữa các đại lượng trong bài toán (dựa vào công thức vật lý, hóa học).
• Bước 2: Giải phương trình (hoặc hệ phương trình)
  • Sử dụng các phương pháp đại số để tìm ra nghiệm của phương trình (hoặc hệ phương trình).
• Bước 3: Kiểm tra và kết luận
  • Đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện của ẩn số.
  • Kiểm tra lại xem nghiệm có thỏa mãn yêu cầu của bài toán hay không.
  • Đưa ra kết luận cuối cùng.

2.6.2. Các Công Thức Vật Lý Cần Nhớ

• Nhiệt lượng tỏa ra: Q tỏa = m.c.Δt (Q tỏa là nhiệt lượng tỏa ra, đơn vị là calo hoặc jun; m là khối lượng chất lỏng, đơn vị là kg; Δt = nhiệt độ ban đầu – nhiệt độ sau khi pha)
• Nhiệt lượng thu vào: Q thu = m.c.Δt (Q thu là nhiệt lượng thu vào, đơn vị là calo hoặc jun; m là khối lượng chất lỏng, đơn vị là kg; Δt = nhiệt độ sau khi pha – nhiệt độ ban đầu)
• Q tỏa = Q thu (trong quá trình trao đổi nhiệt)
• Khối lượng riêng: D = m/V (D là khối lượng riêng, m là khối lượng, V là thể tích)

2.6.3. Các Công Thức Hóa Học Cần Nhớ

• Nồng độ phần trăm: C% = (m chất tan / m dung dịch) * 100%

2.6.4. Ví Dụ Minh Họa

Ví dụ 1: Pha 2 lít nước sôi (100°C) và 3 lít nước lạnh (20°C) thì được hỗn hợp nước có nhiệt độ bao nhiêu?

Giải:

• 1 lít nước = 1 kg nước.
• Gọi nhiệt độ của hỗn hợp nước là x°C (20 < x < 100).

Nhiệt lượng tỏa ra của nước sôi là: Q tỏa = 2 c (100 – x) (c là nhiệt dung riêng của nước).

Nhiệt lượng thu vào của nước lạnh là: Q thu = 3 c (x – 20).

Vì Q thu = Q tỏa nên ta có phương trình: 2 c (100 – x) = 3 c (x – 20).

Giải phương trình, ta được x = 52.

Vậy nhiệt độ của hỗn hợp nước là 52°C.

Ví dụ 2: Khi thêm 200g axit vào dung dịch A, được dung dịch B có nồng độ axit là 50%. Lại thêm 300g nước vào dung dịch B, được dung dịch C có nồng độ axit là 40%. Tính nồng độ axit trong dung dịch A.

Giải:

• Gọi khối lượng axit và nước trong dung dịch A lần lượt là x (g) và y (g). Điều kiện: x > 0, y > 0.

Trong dung dịch B, khối lượng chất tan là x + 200, khối lượng dung dịch là x + y + 200.

Nồng độ axit trong dung dịch B là 50% nên ta có phương trình:

(x + 200) / (x + y + 200) = 0.5

Trong dung dịch C, khối lượng chất tan là x + 200, khối lượng dung dịch là x + y + 200 + 300 = x + y + 500.

Nồng độ axit trong dung dịch C là 40% nên ta có phương trình:

(x + 200) / (x + y + 500) = 0.4

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

(x + 200) / (x + y + 200) = 0.5
(x + 200) / (x + y + 500) = 0.4

Giải hệ, ta được x = 400, y = 600 (thỏa mãn).

Vậy nồng độ axit trong dung dịch A là: (400 / (400 + 600)) * 100% = 40%.

2.6.5. Mẹo Nhỏ Khi Giải Toán Lý – Hóa

• Nắm vững các công thức và định luật vật lý, hóa học liên quan đến bài toán.
• Xác định rõ các chất tham gia và sản phẩm của phản ứng (nếu có).
• Chú ý đến đơn vị đo của các đại lượng và đảm bảo chúng thống nhất.

2.7. Dạng 7: Các Bài Toán Liên Quan Đến Hình Học

2.7.1. Phương Pháp Chung

• Bước 1: Lập phương trình (hoặc hệ phương trình)
  • Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số (ví dụ: độ dài cạnh > 0, diện tích > 0).
  • Biểu diễn các đại lượng chưa biết (độ dài cạnh, diện tích, chu vi) qua ẩn số và các đại lượng đã biết.
  • Lập phương trình (hoặc hệ phương trình) dựa trên mối quan hệ giữa các đại lượng trong bài toán (dựa vào công thức hình học).
• Bước 2: Giải phương trình (hoặc hệ phương trình)
  • Sử dụng các phương pháp đại số để tìm ra nghiệm của phương trình (hoặc hệ phương trình).
• Bước 3: Kiểm tra và kết luận
  • Đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện của ẩn số.
  • Kiểm tra lại xem nghiệm có thỏa mãn yêu cầu của bài toán hay không.
  • Đưa ra kết luận cuối cùng.

2.7.2. Các Công Thức Hình Học Cần Nhớ

• Hình chữ nhật: Diện tích = chiều dài chiều rộng, Chu vi = 2 (chiều dài + chiều rộng)
• Hình vuông: Diện tích = cạnh², Chu vi = 4 * cạnh
• Tam giác: Chu vi = tổng độ dài 3 cạnh, Diện tích = 1/2 đáy chiều cao
• Định lý Pytago: Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.

2.7.3. Ví Dụ Minh Họa

Ví dụ 1: Một hình chữ nhật có chiều dài gấp 3 lần chiều rộng. Nếu cả chiều dài và chiều rộng cùng tăng thêm 5cm thì được một hình chữ nhật mới có diện tích bằng 153cm². Tính chu vi của hình chữ nhật ban đầu.

Giải:

• Gọi chiều rộng của hình chữ nhật là x cm (x > 0).
• Chiều dài của hình chữ nhật là 3x (cm).

Chiều rộng tăng thêm 5cm thì có độ dài mới là x + 5 (cm).

Chiều dài tăng thêm 5cm thì có độ dài mới là 3x + 5 (cm).

Vì diện tích hình chữ nhật mới là 153cm² nên ta có phương trình:

(x + 5)(3x + 5) = 153

Giải phương trình, ta được x = 4 (thỏa mãn x > 0).

Vậy hình chữ nhật ban đầu có chiều rộng là 4cm, chiều dài là 12cm. Do đó, chu vi của hình chữ nhật ban đầu là: